論理の大好きな、双子星さんとrepyさんが、映画を見に行きました。
封切り直後だったこともあって、映画館は大盛況。二人の知り合いの顔も、かなり見かけました。映画館の中に入ると、やはりかなりの観客で埋まっていました。
この観客を見て、双子星さんが言いました。
「いくら観客が多いって言っても、それぞれの人にとってこの中にいる知り合いの数が何人ずつかってことから考えると、その数が全く同じだっていう人が、少なくとも２人はいるはずよね。もちろん、知り合いが０っていうのも、「数」に含めての話だけど。」
「ええっ、なんで？」
「それはね、…」
さて、この後双子星さんがした説明を、考えてみてください。
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「知り合いの人数の最大は（人数－１）人(←すべての人と知り合いの場合)で、知り合いの人数の最小は０人になるわけ。
知り合いの数を重複しないようにすると、知り合いの数が０人から(人数－１)人までそれぞれ１人ずつにならないといけないでしょ。
しかし、一つの集団の中に、すべての人と知り合いの人がいて、なおかつ、知り合いが０人の人がいるということはありえないの。
だから、知り合いの数が同じ人がいるといえるのよ。」
○正解！
（藤島コメント：いつものこととはいえ、ほんと早いですね。今日も一等賞）
今、Ｘ人いるとして考えられる知り合いの数は
０からＸ－１人のＸ通り。
しかし０人とＸ人は同時に成立しない。
故に最低２人は同じ。
○正解！
（藤島コメント：はい、シンプルにまとめていただきました。３行目の「Ｘ」は「Ｘ－１」ですけど、一応ＯＫとしときましょう。２等賞）
「ふううん、よくわかんないけど、双子星さんの言うことなら間違いないわね。｣（by repyさん？）
予想は1位でお願いします。
双子星さん本人は、解くのはもっと早いかもしれませんが、入力の速さには自信があるので、強気にいきます！
（藤島コメント：この「オチ」はいいですね♪。予想ももちろん的中）
文章、書くのに相変わらず時間がかかってしまいます。
知り合い無しと全員知り合いが同時に成立しないと言うのが
ポイントですね。
予想順位は２位でお願いします。
何故か、クッキーが消えてしまうので
毎回、（選択して）入れています。
パズル１の時は、そのまま保存されていたのですが、
そのようにはできないのでしょうか？
（藤島コメント：はい、予想も的中でした。それにしても、クッキー保存されませんか？なんでだろう？？？）
＞しかし０人とＸ人は同時に成立しない。
しかし０人と（Ｘ－１）人（全員知り合い）は同時に成立しない。
この程度の記述ミスはお目こぼしをお願いいたします。
（藤島コメント：はい、お目こぼししました（笑））
『知り合いが０の人を知っている人はいないはずだから・・』
知り合いが０の人が必ずいると言う証明が出来ませんが、
ほかに何も閃きません。
自信ないけど一応5位で、
×残念！不正解
（藤島コメント：なぞなぞじゃありませんから）
記述式については、どこまで丁寧に書けばよいのか迷います。
Ｘ人に関して、同時に成立するのが（Ｘ－１）通りしかないので
少なくとも、二人は同じ知り合いの数になる。
最近、難易度投票をしない人が増えたようで
順位予想が難しいです。
（藤島コメント：意味がわかれば正解とする予定でした。たしかに、最近難易度投票がちょっと遅めですね）
知り合いというのはお互いに相手を知っているという意味だから、AがBを知っていれば、BもAを知っている。
知っている数の合計はゼロか２の倍数。
しかもABCいてAが２人知っていてBCはゼロということはありえず、Aが２ならB1C1で一致。誰か一人を知っているなら１１０。
人数が増えても同じ。
×残念！不正解
（藤島コメント：「人数が増え」たときに、どう「同じ」なのかが、よくわかりませんでした。少なくとも、３人から４人になるときどのように拡張されるのかまでは、あるいは、できれば、Ｎ人から１人増えたときにはどうなるのかということを、書いていただきたかったと思います）
人数をＮとすると、知り合いの数は０～Ｎ－２のＮ－１通りか１～Ｎ－１のＮ－１通りになるから。
○正解！
（藤島コメント：これは一番シンプルな解答ですね。さすが。３等賞でした）
知り合いというのはお互いに相手を知っているということなので、知り合いの合計は偶数ということになる。
観客が２人の場合、知り合いだったら１人と１人、知り合いではなかったら０人と０人になる。観客が３人の時、全員知り合いではなかったら０人と０人と０人になり、１組知り合いの場合は１人と１人と０人になり、２組知り合いの場合は２人と１人と１人になって、３組知り合いだと２人と２人と２人になる。
人数が増えても同じ事。
×残念！不正解
（藤島コメント：これも、「がんばれ山手線」さん同様、「同じ事」という部分の説明が、ちょっと不十分ですね）
予想順位は７位で ちょっと厳しい気もしますが・・・
（藤島コメント：投稿の順番としては、十分７位以内でしたよ）
双子星さんの言う｢少なくとも２人｣というのが
双子星さんとrepyを指しているから。
｢二人の知り合いの顔｣と言ってるので知り合いは
双子星さんとrepyの共通の知り合いととれるので
この２人の知り合いの数は同じ。
こんな答えでいいのかしら？
私は論理は好きではありませんよ^^;
×残念！不正解
（藤島コメント：ちょっと問題の意味を取り違えてしまったようですね。それにしても、repyさんは、あの「ミステリーハウス」を解きながら、論理パズルは好きじゃなかったんですか。結構意外です）
AさんにとってBさんが知り合いならば、BさんにとってもAさんは知り合いである。
BさんにとってCさんが知り合いでないならば、CさんにとってもBさんは知り合いではない。
つまり、自分が知り合いと数えた人はかならず自分を知り合いと数える。
2人がお互い知り合い同士の場合、互いの知り合いの数が同じにならないようにするためには、少なくともどちらかが他にもう1人は知り合いがいないと駄目になる。
Aの知り合いがBのみ、Bの知り合いが2人（仮にA、C）だとするとCの知り合いは3人（CはBの知り合いなので0はない）以上ではないといけない。
Cの知り合いが3人（仮にB、D、E）だとすると、Dの知り合いは4人以上ではないといけない。
Dの知り合いが4人（仮にC、E、F、G）だとすると、Eの知り合いは5人以上ではないといけない。
Eの知り合いが5人（仮にC、D、F、G、H）だとすると･･････。
既に自分を知り合いとあげた人の数よりも、自分の知り合いは多くならなくてはならないが、最後の1人は、すでに自分を知り合いだと答えた人の数しか知り合いはいない。
これはもし知り合いが0人の人が1人いたとしても変わらない。
全員を知っている人が1人いたとしても変わらない。
つまり全体の人数が何人であっても、それぞれの知り合いの数が全て別になることはない。
よって、少なくとも知り合いの数が同じ人は2人はいる。
○正解！
（藤島コメント：こちらは、背理法ではなく、数学的帰納法で来ましたね。もちろんこの説明でも結構ですよ。４等賞です）
こんな感じの説明でよかったでしょうか(´･ω･｀)
予想順位は5位で。
（藤島コメント：説明はあれでよくわかりました。順位は１番違い。惜しかったですね）
双子星さんが知ってる人は双子星さんのことを知っている。
repyさんが知ってる人はrepyさんのことを知っている。
０でなければ最低２人は存在。
？？？？日本語、ムズカシ…。
×残念！不正解
（藤島コメント：この説明では、ちょっとだめかな）
知り合いが０に引っかかってしまいました。訂正します。
知り合いの数がすべて違うとすると、全員と知り合いの人でも、
参加人数－１人（自分は知り合いにならない）の知り合いしか持つことが出来ないので、必ず同じ人数があるはずだから。
まだ検討が不十分でした。
知り合いの数がすべて違うとすると、全員と知り合いの人でも、
参加人数－１人（自分は知り合いにならない）の知り合いしか持つことが出来ない、また、知り合い０の人がいたら、参加人数－２人（知り合い０の人とは知り合いになれない）の知り合いしかもてない。したがって必ず同じ人数があるはずだから。
朝食食べないと頭が働かないようで・・orz
○正解！
（藤島コメント：はい、これで正解です。でも、おかげでちょうど５位になり、予想順位も当たっちゃいましたよ。良かったですね）
順位は5位くらい？
（藤島コメント：投稿の順番では、３番目でした）
ハンドル名に山手線が抜けてました。まあ私自身もがんばった方がいいかもしれませんが。
（藤島コメント：はい、一緒にがんばってくださいね）
「ここにいる人数をX人とすると、
それぞれの知り合いの数は0人～X-1人のどれか。
自分のことは知り合いに入れないものね。
誰かの知り合いの数の可能性としてX通りの可能性があるわけだけど…。
もし全員の知り合いの数がバラバラなら、
X-1人の知り合いがいる人と知り合い0人の人が両方いることになる。
でも知り合いがX-1人の人は、自分以外の人全員と知り合いでなきゃいけないから、
0人の人とも知り合いである必要があって矛盾。
つまり絶対それぞれの知り合いの人数がバラバラなのは不可能。
知り合いの数が同じ人が2人はいる必要があるってわけ」
○正解！
（藤島コメント：さすが「本人」。文体も含めて完璧ですね♪）
観客がＮ人いるとすると、自分が自分の知り合いになることはできないので、知り合いの数は０～Ｎ－１のどれかになる。
ここで、Ｎ人の観客の知り合いの数が全部バラバラだと仮定すると、知り合いの数が０人～Ｎ－１人の人までのＮ通りとなる。
また、知り合いっていうのは一方的な関係ではない。ところが、知り合いの数がＮ－１人の人は、会場の人の全員を知っていることになるのに対し、知り合いの数が０人の人は誰も知っていないことになり、これは仮定と矛盾する。
よって、知り合いの数がまったく同じ人が一組（２人）は存在することが証明された。
○正解！
（藤島コメント：はい、かっちりした解答でした）
９位予想。
（藤島コメント：順位は、まだ７位でした）
順位予想５位
予想順位 19位
[回答]
まず、知り合いの定義としては、一方方向の認識の場合は、知り合いとは言わないことを確認する。
すなわち、Ａさんにとって、Ｂさんは知り合いでカウント１人とするが、ＢさんにとってＡさんは知り合いではなく、カウント０人という事態は発生していないことを前提とする。
また、集団の数は、双子星さんとrepy さんと、更に知り合い達がいるので、３人より少ないことは、無い。
３人以上、n 人の集団で、もし、知り合いが０の人がいなくて、かつ、全員の知り合いの数が異なるとすると、最大の知り合いがいる人は、n 人知り合いなので、この場合、全員 n 人の知り合いがおり、二人以上である n人が知り合いの数 n 人で同一となる。
知り合いの数０人を含むことにより、n 人の知り合いがいる人がいないようにする。
その場合、全員の知り合いの数が異なるとすると、最大に知り合いがいる人の数は、(n-1) 人。この知らない人、１人分は、知り合いの数が０人の人ということになる。
この１人を除いた(n-1) 人の集団では、知り合いが０人がいてはいけないので、最大の知り合いの数がいる人は、(n-1)人となり、結局、(n-1)人の集団では、全員が知り合いとなり、前項と同じ結論で、２人以上の(n-1)人が、同じ、(n-1)人の知り合いを有していることになる。
よって、この集団には、必ず、２人以上、知り合いの数が同じ人がいることになる。
以上。
×残念！不正解
（藤島コメント：うーん、僕にはちょっと意味が取れませんでした。少なくとも、ｎ人の集団での最大の知り合いの数は（ｎ－１）人ですよね。「n人が知り合いの数 n 人で同一」ってどういう意味だったんでしょう？むしろ、式で表現していただいた方が、良かったかな）
お久しぶり、hal-9000です。
観客数をn人とすると、自分自身は知り合いに含めないとして、知り合いの数は0からn-1までのn通りあります。
しかし、知り合いが0人（一人も知らない）の人がいるのと、n-1人の（自分以外は全員を知っている）人とが同居することは、矛盾します。
そのため、知り合いの数は、n通りよりも少なくなり、n人では、知り合いの数が同じである人が最低1組発生します。
最初、観客に人数が偶数と奇数とに場合分けするかと思ったのですが、場合分けしなくて済んだようです。
○正解！
（藤島コメント：お、本当にプチ久しぶりでしたね。でも、ちゃんと正解。勘は鈍っていませんね）
う～ん、やりなおし。でも絶対ダメ。
映画館にいる人を点として、円形に並べる。
任意の点Ａを任意の点Ｂに結んで直線を引く。
（その線がお友達であることを示す。）
この時点で、ＡとＢがそれぞれお友達一人で同じ数。
Ａから今度は別の点Ｃに向けて線を引く。
Ａはお友達２人だが、ＢとＣはそれぞれ一人で同じ数。
今度はＢからＤとＥに線を引いてみる。
ＡとＢはお友達２人、ＣＤＥは３人。
この繰り返し。
お友達の数が同じ人は必ず２人以上いる。
×残念！不正解
（藤島コメント：ふむ、ちょっと良くなった気はしますが、「この繰り返し」のところが、さすがにちょっと端折りすぎのような…。この論法で行くのなら、「１つ点が増えたときに、残りの点はどう変化するのか」というところを、一般化して書いていただく必要があります）
「それはね、全部でＮ人いて、みんなの知り合いの数が違うとすると、
知り合いの数が０人という人からＮー１人という人までがそれぞれ
一人ずついる事になります。ところが、０人という人は誰も知らないのに、
Ｎー１人という人は全ての人を知っているという事になってしまって、
そんな事はありえません。だから、知り合いの数が全く同じ人が、
少なくとも２人はいるはず。」
一応、大前提として、
「知り合い」というのは、「お互い知り合っている」という事。
つまり「ＡさんはＢさんを知っているけど、ＢさんはＡさんを知らない」
という状態は「知り合い」ではない。
という事にしてあります。でないと、２人しかいない時、知り合いが０人と
１人になる可能性があるから。
（数学的）帰納法でも説明できますし、考え方はストレートなのですが、
背理法の方が短く済むために登場人物に変なやりとりをさせなくていいので、
私にとっては書きやすかったです。
それにしても、論理を考えるより、言葉遣いを考える方が相当難しい…
○正解！
（藤島コメント：ははは、わざわざ女性言葉で書いていただいて、ありがとうございました）
「双子星さんご本人からの模範解答」に笑いました。
先生、もともとこの予定だったんですか？
実は昨日、「あずきじま」（ｂｙうちの会社の後輩）まで出張だったんですよ。
なので、書き込めるかどうか微妙だったんですが、自分の名前が出てきたので・・・。
これは参加しないわけにはいかないなー、と思って、苦手な携帯親指打ちで参加しました。
正解でよかったぁ・・・（ばた）。
ちなみに私も情報保存が出来ません。
メルアド入力が面倒です（コピペするだけだけど）。
（藤島コメント：さすがに「もともとこの予定」ではありませんよ。双子星さんからのコメントを見て、「これは使えるな」と思ったんです。なお、携帯にはクッキーがないので、メルアド保存はできないんですよ。すみません。なお、ＰＣの方は、クッキーが効かないようでしたら、「ユーザー登録」しちゃってください。今のところ、サンパウロ坂本さんとしゅうさんが、登録済みです）
不明の人数を文字にするときに、みなさんが一様に「ｎ人」にしていたのがおどろきです。
ここまで一致してしまうのは、日本的数学教育のたまものでしょうか(笑)
私は、ｘ人か□人と思っていたのですが･････
もしかして、私って、数学的センスなし？
・・・・・・・一応、数学の先生なんですけど(^_^;)
あ、でも、バルタン星人さんと双子星さんはｘ人でしたね。
なんか、ほっとしました。
＞「ふううん、よくわかんないけど、双子星さんの言うことなら間違いないわね。｣（by repyさん？）
サンパウロ坂本さんの予想セリフ、大正解～(^_^;)
この問題は背理法で行かないと、自分の知り合いの知り合いが必ずしも自分の知り合いではないって訳だから証明は非常に難しくなりますよね。
その意味で、毬藻さんの証明はなるほどと感じましたが…やっぱり効率が悪いですよね＾＾；
偏差値で判断する限り、全国レベルで見ても私の数学は結構高いレベルにあるみたいですが、塾では「腕力の桃燈」と呼ばれております。
計算力にものを言わせてゴリゴリ解いていってしまうんですね＾＾
論理さえ正しければ数学って解けるので、大学受験レベルでも小中学レベルの解き方があるわけです。計算力があればね＾＾
と言うわけで、毬藻さんに「腕力の数学」の称号を与えてみたい（笑）
ところで、他の人の回答を見ていて思ったことですが、未知数をＸでおいている回答を見ると、実数の範囲に見えてしまうから面白い。
Ｎだと自然数って気分になるんですけどねぇ、Ｘだと実数で見えるから、人数の話しなのにマイナスとか分数とか無理数とかを想起してしまう（爆）
あ、クッキー保存はＰＣです。
ユーザー登録ですか・・・なるほど。
（藤島コメント：クッキーの方も、わかりやすくなるよう直しておきました）