六角形の辺の長さ

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（正解）

ＢＣ＝７ｃｍ
ＤＥ＝４ｃｍ
ＡＦ＝６ｃｍ

（解き方）

この六角形のすべての内角は大きさが等しいので、その１つの大きさは、
１８０°×（６－２）÷６＝１２０°
六角形の辺ＡＦをＡの側に延長した直線と、辺ＢＣをＢの側に延長した直線との交点をＰ、辺ＢＣをＣの側に延長した直線と、辺ＤＥをＤの側に延長した直線との交点をＱ、辺ＤＥをＥの側に延長した直線と、辺ＡＦをＦの側に延長した直線との交点をＲとする。
すると、
∠ＢＡＰ＝∠ＡＢＰ＝６０°　より、△ＰＡＢは正三角形
∠ＤＣＱ＝∠ＣＤＱ＝６０°　より、△ＱＣＤは正三角形
∠ＥＦＲ＝∠ＦＥＲ＝６０°　より、△ＲＥＦは正三角形　になる。
この結果、∠Ｐ＝∠Ｑ＝∠Ｒ＝６０°　より、△ＰＱＲも正三角形になる。

ここまでわかれば、あとは簡単。
ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ＋ＤＥ＋ＥＦ＋ＡＦ＝２８
２＋ＢＣ＋４＋ＤＥ＋５＋ＡＦ＝２８
ＢＣ＝ａ、ＤＥ＝ｂ、ＡＦ＝ｃと置くと、
ａ＋ｂ＋ｃ＝１７　…　(1)
ＰＱ＝ＰＢ＋ＢＣ＋ＣＱ＝ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ＝２＋ａ＋４＝ａ＋６
ＱＲ＝ＱＤ＋ＤＥ＋ＥＲ＝ＣＤ＋ＤＥ＋ＥＦ＝４＋ｂ＋５＝ｂ＋９
ＲＰ＝ＲＦ＋ＡＦ＋ＰＡ＝ＥＦ＋ＡＦ＋ＡＢ＝５＋ｃ＋２＝ｃ＋７
ＰＱ＝ＱＲ＝ＲＰ　より、　ａ＋６＝ｂ＋９＝ｃ＋７
ｂ＝ａ－３　…　(2)
ｃ＝ａ－１　…　(3)
(2)と(3)を(1)に代入すると、
ａ＋（ａ－３）＋（ａ－１）＝１７
３ａ＝２１
　ａ＝７ｃｍ　…　ＢＣ
　ｂ＝７－３＝４ｃｍ　…　ＤＥ
　ｃ＝７－１＝６ｃｍ　…　ＡＦ

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「六角形の辺の長さ」への6件のフィードバック

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  1. BC=22/3
    DE=10/3
    FA=16/3
    周長、水平、垂直で三元連立させたがあってるかな？

    返信

    1. ＥＦ＝５ｃｍを６ｃｍと見誤っていました。
      周長ａ＋ｂ＋ｃ＋１１＝２８
      水平（ＡＢ方向）：４＋５＋２ｂ＝ａ＋ｃ＋４
      垂直：ａ＋４＝５＋ｃ
      を解いて７，４，６になりますね。
      大きな正三角形で三辺等しいとする模範解の方がスマートではありますが。

      返信

    1. BC,DE,FAを左右に延長して大きな正三角形を作る。
      もとの六角形以外の部分は、AB,CD,EFを１辺とする正三角形になる。
      もとの周りの長さ28ｃｍ、大きい正三角形の周りの長さはそれに2,4,5ｃｍを足した39ｃｍ。
      １辺13ｃｍからわかっている長さ（小さい正三角形の辺2つ分）を引いたのが答え。
      中１から「正三角形」とヒントもらっちゃった。

      返信

  4. ＢＣ＝７、ＤＥ＝４、ＡＦ＝６
    ＢＣ、ＤＥ、ＡＦを両側に延長すると、一辺が１３ｃｍの正三角形ができます。面白い問題ですね。

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