８人の体重

（正解）
　１３９トロイポンド

（解説）

　２人ずつ４組の重さがすべて同じになったということから、一番軽いみいなと一番重いしゅうの組、２番目のりんことこつぶの組、同様に、いそことラッパの組、かさなとやかさの組だったことがわかります。
　みいなとりんこの差は、こつぶとしゅうの差と、同じです。りんこと
いそこ、いそことかさなのところも同様です。
　そのうちのみいなとしゅうは、体重が１００トロイポンドと１５０ト
ロイポンドですので、４組とも、合わせて２５０トロイポンドでした。

　　　しゅう　　　こつぶ　　　ラッパ　　　やかさ　　　　←──┐
　　＋みいな　　＋りんこ　　＋いそこ　　＋かさな　　順番───┘
　　─────　─────　─────　─────
　　　２５０　　　２５０　　　２５０　　　２５０

　また、軽い順に並べた時、隣の人との差が、最大で１１トロイポンド、最小で３トロイポンドになりますが、これはかさなとやかさとの差にはなり得ません。かさなとやかさの２人の合計が偶数ですので、２人の差も偶数です。つまり、１１トロイポンド差と、３トロイポンド差は、別の人の間にあります。
　かさなとやかさの体重は、１２５トロイポンドをはさんで、差が４～１０トロイポンドですので、かさなの体重が１２０～１２３トロイポンド、やかさは１２７～１３０トロイポンドの範囲です。

　次に、３人と４人の体重の合計が同じになるというのが重要で、これを満たすためには、いそことかさな（やかさとラッパ）の差が１１トロイポンドになるしかなく、実際に３人と４人の合計が同じになるのは、
次の２組だけしかありません（注）。
　１００、１０６、１０９、１２０、１３０、１４１、１４４、１５０
　１００、１０３、１１１、１２２、１２８、１３９、１４７、１５０

　しかし、前者では、３人ずつ取り出して体重の合計が等しくなる組合せがなく、後者が正解の組合せとなります。
　ラッパの体重は、１３９トロイポンドです。

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（hal-9000の追加解説）

　解説の（注）の段落、つまり３人と４人に分けた場合の解析について、補足します。

　各人の体重について、あり得る範囲を考えます。
　みいなは１００トロイポンド固定です。りんこは、みいなとの差から１０３～１１１トロイポンド。　いそこは、かさなとの差から１０９～１２０トロイポンド。　かさなは、先ほどの１２０～１２３トロイポン
ドです。
　やかさ～しゅうは、かさな～みいなと足して２５０トロイポンドになる重さです。

　最小　　１５０　１３９　１３０　１２７
　最大　　１５０　１４７　１４１　１３０
　　　　　しゅう　こつぶ　ラッパ　やかさ

　　　　　みいな　りんこ　いそこ　かさな
　最小　　１００　１０３　１０９　１２０
　最大　　１００　１１１　１２０　１２３

　さて、４人と３人に分けて同じ重さになる時の、体重の組合せを考えます。

　まず、４人の方が、最も軽い組合せである、みいな＋りんこ＋いそこ＋かさなだった場合には、各人の範囲内でも最も軽い組合せが１００＋１０３＋１０９＋１２０＝４３２トロイポンドです。
　一方、３人の方については、考えられる最も重い組合せが、しゅう＋こつぶ＋ラッパの時で１５０＋１４７＋１４１＝４３８トロイポンドです。
　これは、重さが一致していませんが、４人の方（つまり最も軽い組合せで計算した方）が軽いですので、可能性がありそうです。

　最大　　１５０　１４７　１４１　　　　　　　　３人計＝４３８
　　　　┌───────────┐
　　　　│しゅう　こつぶ　ラッパ│やかさ
　　　　├───────────┴───┐　　　可能性あり
　　　　│みいな　りんこ　いそこ　かさな│
　　　　└───────────────┘
　最小　　１００　１０３　１０９　１２０　　　　４人計＝４３２

　次に、４人の方が、２番目に重いみいな＋りんこ＋いそこ＋やかさだった場合を考えます。この組合せで、考えられる最も軽い合計体重は、１００＋１０３＋１０９＋１２７＝４３９トロイポンドです。これは、しゅう＋こつぶ＋ラッパの最も重い組合せを既に超えてしまっていますので、この組合せはあり得ません。

　最小　　　　　　　　　　　　　　１２７
　最大　　１５０　１４７　１４１　　　　　　　　３人計＝４３８
　　　　┌───────────┬───┐
　　　　│しゅう　こつぶ　ラッパ┘やかさ│
　　　　├──────────┘　┌──┘　　　ＮＧ
　　　　│みいな　りんこ　いそこ┌かさな
　　　　└───────────┘
　最小　　１００　１０３　１０９　　　　　　　　４人計＝４３９

　という訳で、４人の方は、みいな＋りんこ＋いそこ＋かさなだと確定します。

　３人の方については、最も重いラッパ＋こつぶ＋しゅう以外の組合せでは、みいな＋りんこ＋いそこ＋かさなが最も軽い時の合計よりも小さいです。

　最大　　１５０　１４７　　　　　１３０　　　　３人計＝４２７
　　　　┌───────┐　　　┌───┐
　　　　│しゅう　こつぶ│ラッパ│やかさ│
　　　　├───────┴───┴───┤　　　ＮＧ
　　　　│みいな　りんこ　いそこ　かさな│
　　　　└───────────────┘
　最小　　１００　１０３　１０９　１２０　　　　４人計＝４３２

　つまり、３人の方も、ラッパ＋こつぶ＋しゅうの組合せだと確定します。

　ここで、３トロイポンド差と１１トロイポンド差が、誰と誰の間なのか考えます。

　みいなとりんこ（こつぶとしゅう）の差、りんこといそこ（ラッパとこつぶ）の差、いそことかさな（やかさとラッパ）の差の、いずれかです。
　まず、インパクトの大きい１１トロイポンド差の方について、３つに場合分けして考えます。

　差が１１トロイポンドになるところがみいな－りんこ間だった場合、みいなは１００トロイポンド、りんこは１１１トロイポンドです。この場合には、いそことかさなが、考えられるうちで最も軽い１１４トロイ
ポンド、１２０トロイポンドだったとしても、みいな＋りんこ＋いそこ＋かさなの合計がラッパ＋こつぶ＋しゅうの合計を超えています。つまり、差が１１トロイポンドなのはみいな－りんこ間ではない、というこ
とです。

　最大　　１５０　１３９　１３６
　　　　　しゅう　こつぶ　ラッパ　やかさ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ＮＧ
　　　　　みいな　りんこ　いそこ　かさな
　最小　　１００　１１１　１１４　１２０
　　　　　　＜＝＝＝＞
　　　　　　　１１差

　次に、差が１１トロイポンドになる所がりんこ－いそこ間だった場合、同様にみいな＋りんこ＋いそこ＋かさなで最も軽い組合せは、１００＋１０３＋１１４＋１２０ですが、これも、ラッパ＋こつぶ＋しゅうの合計を超えてしまっています。　つまり、差が１１トロイポンドなのは、りんこ－いそこ間でもない、ということです。

　最大　　１５０　１４７　１３６
　　　　　しゅう　こつぶ　ラッパ　やかさ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ＮＧ
　　　　　みいな　りんこ　いそこ　かさな
　最小　　１００　１０３　１１４　１２０
　　　　　　　　　　＜＝＝＝＞
　　　　　　　　　　　１１差

　という訳で、差が１１トロイポンドなのは、いそこ－かさな間（および、やかさ－ラッパ間）だと確定しました。

　次に、差が３トロイポンドなのがどこであるかを考えます。

　３トロイポンド差が、りんこ－いそこ間だとすると、４人の合計は、最も軽い場合では１００＋１０６＋１０９＋１２０、最も重い場合では１００＋１０９＋１１２＋１２３です。この４通りを計算してみると、
最も軽い組合せの時に、合計が一致します。

　最小　　１５０　１４１　１３８
　最大　　１５０　１４４　１４１　　　　　　３人計＝４３５
　　　　　しゅう　こつぶ　ラッパ　やかさ

　　　　　みいな　りんこ　いそこ　かさな
　最小　　１００　１０６　１０９　１２０　　４人計＝４３５
　最大　　１００　１０９　１１２　１２３
　　　　　　　　　　＜＝＝＞　＜＝＝＞
　　　　　　　　　　　３差　　 １１差

　３トロイポンド差がみいな－りんこ間だとすると、みいなとりんこは１００トロイポンドと１０３トロイポンドに確定です。いそことかさなは、最も軽くて１０９トロイポンド＋１２０トロイポンド、最も重い場
合で１１２トロイポンド＋１２３トロイポンドの範囲です。この４通りを計算すると、１１１トロイポンド＋１２２トロイポンドの時に、３人側との合計が丁度一致することがわかります。

　最小　　１５０　１４７　１３８
　丁度　　１５０　１４７　１３９　　　　　　３人計＝４３６
　最大　　１５０　１４７　１４１
　　　　　しゅう　こつぶ　ラッパ　やかさ

　　　　　みいな　りんこ　いそこ　かさな
　最小　　１００　１０３　１０９　１２０
　丁度　　１００　１０３　１１１　１２２　　４人計＝４３６
　最大　　１００　１０３　１１２　１２３
　　　　　　 ＜＝＝＞　　　 ＜＝＝＞
　　　　　　　 ３差 　　　　 １１差

　という訳で、３人と４人に分けて重さが同じにできるのは、次の組合せになる時だけであることがわかります。
　１００、１０６、１０９、１２０、・・・
　１００、１０３、１１１、１２２、・・・

　ついでながら、３人ずつに分けてで重さが等しくなる組合せを探すと、
前者の１００、１０６、・・・の方は丁度良い組合せがありませんが、
後者の１００、１０３、・・・の方には、次のようなものがあります。

　みいな＋かさな＋ラッパ＝りんこ＋いそこ＋こつぶ
　１００＋１２２＋１３９＝１０３＋１１１＋１４７

　みいな＋やかさ＋こつぶ＝りんこ＋かさな＋しゅう
　１００＋１２８＋１４７＝１０３＋１２２＋１５０

　りんこ＋ラッパ＋こつぶ＝いそこ＋やかさ＋しゅう
　１０３＋１３９＋１４７＝１１１＋１２８＋１５０