６人が持っている２桁の数字

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Misa、くりむーぶ３８９、森山のコーチャン、キムコウ、ふぇいまぉ、がんばれ山手線の６人が、それぞれ、カードを１枚持っています。各々のカードには、２桁の数字が書かれています。
カードの数字は、Misaが年齢と同じ２８（本当かな？）、くりむーぶ３８９は実は３桁の数字が欲しかったようですが残念ながら３６、最新型のコンピューターを駆使している森山のコーチャンが６４、素数論でフィールズ賞を取ったキムコウが７３、かけ算の達人ふぇいまぉが８１です。がんばれ山手線のカードの数字は内緒です。
次のヒントを元に、がんばれ山手線の持っているカードの数字がいくつなのか、当てて下さい。

  • この６人のうち１人に抜けてもらい、残った５人を２つのグループに分け、各人の持っているカードの数字の合計をグループ毎に計算したところ、２つのグループそれぞれの合計は、２：７の比率になりました。
  • 先ほど抜けた１人が戻ったうえで、また１人に抜けてもらい、残った５人を２グループに分け、それぞれの合計を計算したところ、今度は１：３の比率になりました。

（登場人物の特技などは、フィクションです）
（2004年07月号より）

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「６人が持っている２桁の数字」への2件のフィードバック

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  1. がんばれ山手線さんの持っているカード：７０

    森山のコーチャンさん（６４）が抜けて、
    ＭＩＳＡさん（２８）・くりむーぶ３８９さん（３６）の組と、
    がんばれ山手線さん（７０）・キムコウさん（７３）・
    ふぇいまぉさん（８１）の組で、
    ６４：２２４＝２：７

    ＭＩＳＡさん（２８）が抜けて、
    ふぇいまぉさん（８１）（の組）と、
    くりむーぶ３８９さん（３６）・森山のコーチャンさん（６４）・
    がんばれ山手線さん（７０）・キムコウさん（７３）の組で、
    ８１：２４４＝１：３

    合計数がＳで、抜けた人の数がＸの時、これがＡ：Ｂとなるという事は、
    全ての数が（２桁の）整数なので、ＳーＸがＡ＋Ｂで割り切れるという事。

    今の問題では、がんばれ山手線さんの持ち数をＣとすると、
    　Ｓ＝２８２＋Ｃ
    すなわち第一の条件は、
    　ＳーＸ＝２８２＋ＣーＸ
    が９（＝２＋７）で割り切れることを示している。
    そこで、各数を９で割った余りを調べてみると、
    　２８、６４、７３・・・余り１
    　３６、８１・・・・・・余り０
    よって、Ｃは９で割って余り６又は７である必要があり、それぞれ、
    余り１、余り０のグループの数を除いて２：７に分ける事になる。

    （１）Ｃを９で割ると余り６の時
    　Ｃ＝９×α＋６　（α＝１～１０）
    　取り除く数は３６又は８１。

    （１ーア）３６を取り除く場合（Ｘ＝３６）
    　ＳーＸ＝２８２＋ＣーＸ＝２８２＋９×α＋６ー３６＝９×（α＋２８）
    　これをグループ分けして、２×（α＋２８）と７×（α＋２８）とに分ける。
    　α＝１～１０なので、２×（α＋２８）は５８～７６である事に注意すると、
    　この数に対応できるものは、６４しかないことが分かる。
    　この時、α＝４、Ｃ＝４２。

    （１ーイ）８１を取り除く場合（Ｘ＝８１）
    　ＳーＸ＝２８２＋ＣーＸ＝２８２＋９×α＋６ー８１＝９×（α＋２３）
    　これをグループ分けして、２×（α＋２３）と７×（α＋２３）とに分ける。
    　α＝１～１０なので、２×（α＋２３）は４８～６６である事に注意すると、
    　この数に対応できるものは、６４しかないことが分かる。
    　この時、α＝９、Ｃ＝８７。

    （２）Ｃを９で割ると余り７の時
    　Ｃ＝９×α＋７　（α＝１～１０）
    　取り除く数は２８、６４又は７３。

    （２ーア）２８を取り除く場合（Ｘ＝２８）
    　ＳーＸ＝２８２＋ＣーＸ＝２８２＋９×α＋７ー２８＝９×（α＋２９）
    　これをグループ分けして、２×（α＋２９）と７×（α＋２９）とに分ける。
    　α＝１～１０なので、２×（α＋２９）は６０～７８である事に注意すると、
    　この数に対応できるものは、６４しかないことが分かる。
    　この時、α＝３、Ｃ＝３４。

    （２ーイ）６４を取り除く場合（Ｘ＝６４）
    　ＳーＸ＝２８２＋ＣーＸ＝２８２＋９×α＋７ー６４＝９×（α＋２５）
    　これをグループ分けして、２×（α＋２５）と７×（α＋２５）とに分ける。
    　α＝１～１０なので、２×（α＋２５）は５２～７０である事に注意すると、
    　この数に対応できるものは、６４（＝２８＋３６）と５２（１６＋３６）しかないことが分かる。
    　２×（α＋２５）＝６４の時、α＝７、Ｃ＝７０、
    　２×（α＋２５）＝５２の時、α＝１、Ｃ＝１６。

    （２ーウ）７３を取り除く場合（Ｘ＝７３）
    　ＳーＸ＝２８２＋ＣーＸ＝２８２＋９×α＋７ー７３＝９×（α＋２４）
    　これをグループ分けして、２×（α＋２４）と７×（α＋２４）とに分ける。
    　α＝１～１０なので、２×（α＋２４）は５０～６８である事に注意すると、
    　この数に対応できるものは、６４（＝６４又は２８＋３６）しかないことが分かる。
    　この時、α＝８、Ｃ＝７９。

    以上より、第一条件から考えられるＣ（がんばれ山手線さんの持ち数）は、
    １６、３４、４２、７０、７９、８７の６通り。

    次に第二の条件を同じように考えると、
    　ＳーＸ＝２８２＋ＣーＸ
    が４（＝１＋３）で割り切れるはず。
    各数を４で割った余りを調べてみると、
    　２８、３６、６４・・・余り０
    　７３、８１・・・・・・余り１
    よって、Ｃは４で割って余り２又は３である必要があり、それぞれ、
    余り０、余り１のグループの数を除いて１：３に分ける事になる。

    （３）Ｃを４で割ると余り２の時
    　Ｃ＝４×β＋２　（β＝２～２４）
    　取り除く数は２８、３６又は６４。

    （３ーア）２８を取り除く場合（Ｘ＝２８）
    　ＳーＸ＝２８２＋ＣーＸ＝２８２＋４×β＋２ー２８＝４×（β＋６４）
    　これをグループ分けして、β＋６４と３×（β＋６４）とに分ける。
    　β＝２～２４なので、β＋６４は６６～８８である事に注意すると、
    　この数に対応できるものは、７３と８１しかないことが分かる。
    　β＋６４＝７３の時、β＝９、Ｃ＝３８、
    　β＋６４＝８１の時、β＝１７、Ｃ＝７０。

    （３ーイ）３６を取り除く場合（Ｘ＝３６）
    　ＳーＸ＝２８２＋ＣーＸ＝２８２＋４×β＋２ー３６＝４×（β＋６２）
    　これをグループ分けして、β＋６２と３×（β＋６２）とに分ける。
    　β＝２～２４なので、β＋６２は６４～８６である事に注意すると、
    　この数に対応できるものは、６４、７３と８１しかないことが分かる。
    　β＋６２＝６４の時、β＝２、Ｃ＝１０、
    　β＋６２＝７３の時、β＝１１、Ｃ＝４６、
    　β＋６２＝８１の時、β＝１９、Ｃ＝７８。

    （３ーウ）６４を取り除く場合（Ｘ＝６４）
    　ＳーＸ＝２８２＋ＣーＸ＝２８２＋４×β＋２ー６４＝４×（β＋５５）
    　これをグループ分けして、β＋５５と３×（β＋５５）とに分ける。
    　β＝２～２４なので、β＋５５は５７～７９である事に注意すると、
    　この数に対応できるものは、６４（＝２８＋３６）と７３しかないことが分かる。
    　β＋５５＝６４の時、β＝９、Ｃ＝３８、
    　β＋５５＝７３の時、β＝１８、Ｃ＝７４。

    （４）Ｃを４で割ると余り３の時
    　Ｃ＝４×β＋３　（β＝２～２４）
    　取り除く数は７３又は８１。

    （４ーア）７３を取り除く場合（Ｘ＝７３）
    　ＳーＸ＝２８２＋ＣーＸ＝２８２＋４×β＋３ー７３＝４×（β＋５３）
    　これをグループ分けして、β＋５３と３×（β＋５３）とに分ける。
    　β＝２～２４なので、β＋５３は５５～７９である事に注意すると、
    　この数に対応できるものは、６４（＝６４又は２８＋３６）しかないことが分かる。
    　この時、β＝１１、Ｃ＝４７。

    （４ーイ）８１を取り除く場合（Ｘ＝８１）
    　ＳーＸ＝２８２＋ＣーＸ＝２８２＋４×β＋３ー８１＝４×（β＋５１）
    　これをグループ分けして、β＋５１と３×（β＋５１）とに分ける。
    　β＝２～２４なので、β＋５１は５３～７５である事に注意すると、
    　この数に対応できるものは、５５（＝１９＋３６）、６４（＝６４又は２８＋３６）と７３しかないことが分かる。
    　β＋５１＝５５の時、β＝４、Ｃ＝１９、
    　β＋５１＝６４の時、β＝１３、Ｃ＝５５、
    　β＋５１＝７３の時、β＝２２、Ｃ＝９１。

    以上より、第二条件から考えられるＣ（がんばれ山手線さんの持ち数）は、
    １０、１９、３８、４６、４７、５５、７０、７４、７８、９１の１０通り。

    また、第一及び第二両方の条件を満たすのは、Ｃ＝７０のみである事が分かる。
    よって、これが解。
    又、この時に誰が抜けるか、そしてグループ分けの仕方等は、
    （２ーイ）と（３ーア）のＣ＝７０に対応する所を解釈すれば良い。

    返信

  2. ７０

    遅まきながら回答。

    　　　　　　　　　　　　　　　９で割る　　　　　　　４で割る　
Misa、　　　　　　　　　　　　１　　　　　　　　　　　０
くりむーぶ３８９、　　　　　　０　　　　　　　　　　　０　
森山のコーチャン、　　　　　　１　　　　　　　　　　　０
キムコウ、　　　　　　　　　　１　　　　　　　　　　　１
ふぇいまぉ、　　　　　　　　　０　　　　　　　　　　　１
がんばれ山手線　　　　－２or－３　　　　　　－１or－２

    山手線さんを除く５人は４の倍数にも９の倍数にもならないので
    山手線さんは、２：７、１：３のメンバー。
    ２：７の２を２８＋３６とすると６４×7/2＝２２４
    山手線さんは、７０、７９、８７の何れか（各、８１，７３，６４を除外）。
    山手線さんが７０の時
    （２８＋３６）：（７３＋８１＋７０）＝２：７
    ８１：（３６＋６４＋７３＋７０）＝１：３
    題意に適する。

    　　

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