等面積の５つの三角形 投稿日 2008年1月8日2012年3月1日投稿者 上図において、△AFD、△DFE、△EFG、△EGB、△BGCは、それぞれ面積が等しく、かつ、EB=FGです。 このとき、AB:ACの比は、いくらになりますか。 ページ: 1 2
16:15 面積比の問題ですね。 次女が中学受験なので早速、やらせてみようと思います。 面積比を使うとＡＤ：ＤＥ：ＥＢ＝３：３：２ ＡＦ：ＦＧ：ＧＣ＝８：４：３ ＥＢとＦＧが等しいのでＡＢは２倍し１６：１５ 返信
＞でも、解き終えてみると、実にシンプルな解法で、面倒な計算は一切なし。図形に対するセンスのみが問われる良問でした。 面積比を使う問題は、小学生にとってはやや難しいですが、 中堅校以上では、基本となっています。 本問題は、基本問題の一つと言えそうです。 少し捻ると、下記のような問題が出てきます。 http://arot.net/sanzyutsuman/public_html/Pages/unit23.html この問題はＡＰ：ＰＣをどうやって求めるかがポイントです。 今年度は、他のサイトですが算数問題をずいぶん解いたおかげで算数力がＵＰしたみたいです。 問題の難しさは下記２つが双璧と言えそうです。 http://www.sansu.org/ http://cdcdcd.sansu.org/pika/index.html 算数にチャレンジは早解きが競われていますが、小職、半年参加して５位以内は４位を１回取っただけです。今週の問題も超難問でした（算数で解けずに数学で解きましたが、あっと驚く算数解法がありました）。 返信
AB:AC=16:15 これと似た問題は、解いたことがあります。 AD:DE:EB=6:6:4 AF:FG:GC=8:4:3 というところですね。 仕事抜けて、本編の問題だけ早解きで解いたので、この問題見るのが遅くなっちゃいました。 所要時間は、３分くらいってとこでしょうか。 こんなこと書いてて間違ってたら、しゃれにもなりませんが････ 返信
解説を少し。 まずは、辺ABの内分比について △AFD=△DFE なので、AD=DE (AD:DE=1:1) △AEG=△EGB×３ なので、AE:EB=3:1 よって、 AD:DE:EB=3:3:2 次に、辺ACの内分比について △EAF=△EFG×２ なので、AF:FG=2:1 △BAG=△BGC×４ なので、AG:GC=4:1 よって、 AF:FG:GC=8:4:3 ここで、EB=FGなので、4でそろえると、 AD:DE:EB=6:6:4（合計16→AB） AF:FG:GC=8:4:3（合計15→AC） よって、AB:AC=16:15 です。 返信
△AFG = △DFE だから、AD = DE この長さを a とする。 △AFE = 2 x △EFG だから、AF = 2 x FG この FG の長さを b とする。 △AGE = 3 x △EGB だから、AE = 3 x EB この EB の長さも条件より b △AGB = 4 x △BGC だから、AG = 4 x GC この GC の長さを c とする。 以上を整理すると、AB = 4b AG = 3b = 4c c = 3/4b AC = 5c = 5(3/4b) = 15/4b AB : AC = 4b : 15/4b = 16 : 15 AB : AC = 16 : 15 返信
16:15 △AGE と △EGB は、それぞれ AE 及び EB を底辺として見ると高さが等しい。 また、面積が 3:1 なので、底辺も 3:1。すなわち、AE=3EB。 あるいは、AB=AE+EB=3EB+EB=4EB。 △AFE と △FEG は、それぞれ AF 及び FG を底辺として見ると高さが等しい。 また、面積が 2:1 なので、底辺も 2:1。すなわち、AF=2FG。 △AGB と △GBC は、それぞれ AG 及び GC を底辺として見ると高さが等しい。 また、面積が 4:1 なので、底辺も 4:1。すなわち、AG=4GC。 以上より、AC=AG+GC=AG+AG/4=5AG/4=5(AF+FG)/4=5(2FG+FG)/4=15FG/4 ここで、FG=EB なので、AB:AC=4EB:15FG/4=16:15。 うーむ…答えにたどり着くまでには５分ぐらいかかったかな？ 返信
16:15
面積比の問題ですね。
次女が中学受験なので早速、やらせてみようと思います。
面積比を使うとＡＤ：ＤＥ：ＥＢ＝３：３：２
ＡＦ：ＦＧ：ＧＣ＝８：４：３
ＥＢとＦＧが等しいのでＡＢは２倍し１６：１５
AC=5CE
AB=4BE
AG=3FG
BE=FG=Ｘとすると
AC=3Ｘ+AC/5
AC=3.75X
AB=4X
AB:AC=4:3.75=16:15
勉強を思い出しました。
＞でも、解き終えてみると、実にシンプルな解法で、面倒な計算は一切なし。図形に対するセンスのみが問われる良問でした。
面積比を使う問題は、小学生にとってはやや難しいですが、
中堅校以上では、基本となっています。
本問題は、基本問題の一つと言えそうです。
少し捻ると、下記のような問題が出てきます。
http://arot.net/sanzyutsuman/public_html/Pages/unit23.html
この問題はＡＰ：ＰＣをどうやって求めるかがポイントです。
今年度は、他のサイトですが算数問題をずいぶん解いたおかげで算数力がＵＰしたみたいです。
問題の難しさは下記２つが双璧と言えそうです。
http://www.sansu.org/
http://cdcdcd.sansu.org/pika/index.html
算数にチャレンジは早解きが競われていますが、小職、半年参加して５位以内は４位を１回取っただけです。今週の問題も超難問でした（算数で解けずに数学で解きましたが、あっと驚く算数解法がありました）。
12：15！！
と答えると×をくらうので
4：5です。
多分。
検算したら間違ってました。
16：15でした。
AB:AC=16:15
これと似た問題は、解いたことがあります。
AD:DE:EB=6:6:4
AF:FG:GC=8:4:3
というところですね。
仕事抜けて、本編の問題だけ早解きで解いたので、この問題見るのが遅くなっちゃいました。
所要時間は、３分くらいってとこでしょうか。
こんなこと書いてて間違ってたら、しゃれにもなりませんが････
解説を少し。
まずは、辺ABの内分比について
△AFD=△DFE なので、AD=DE (AD:DE=1:1)
△AEG=△EGB×３ なので、AE:EB=3:1
よって、
AD:DE:EB=3:3:2
次に、辺ACの内分比について
△EAF=△EFG×２ なので、AF:FG=2:1
△BAG=△BGC×４ なので、AG:GC=4:1
よって、
AF:FG:GC=8:4:3
ここで、EB=FGなので、4でそろえると、
AD:DE:EB=6:6:4（合計16→AB）
AF:FG:GC=8:4:3（合計15→AC）
よって、AB:AC=16:15 です。
△AFG = △DFE だから、AD = DE この長さを a とする。
△AFE = 2 x △EFG だから、AF = 2 x FG この FG の長さを b とする。
△AGE = 3 x △EGB だから、AE = 3 x EB この EB の長さも条件より b
△AGB = 4 x △BGC だから、AG = 4 x GC この GC の長さを c とする。
以上を整理すると、AB = 4b
AG = 3b = 4c c = 3/4b
AC = 5c = 5(3/4b) = 15/4b
AB : AC = 4b : 15/4b = 16 : 15
AB : AC = 16 : 15
16:15
△AGE と △EGB は、それぞれ AE 及び EB を底辺として見ると高さが等しい。
また、面積が 3:1 なので、底辺も 3:1。すなわち、AE=3EB。
あるいは、AB=AE+EB=3EB+EB=4EB。
△AFE と △FEG は、それぞれ AF 及び FG を底辺として見ると高さが等しい。
また、面積が 2:1 なので、底辺も 2:1。すなわち、AF=2FG。
△AGB と △GBC は、それぞれ AG 及び GC を底辺として見ると高さが等しい。
また、面積が 4:1 なので、底辺も 4:1。すなわち、AG=4GC。
以上より、AC=AG+GC=AG+AG/4=5AG/4=5(AF+FG)/4=5(2FG+FG)/4=15FG/4
ここで、FG=EB なので、AB:AC=4EB:15FG/4=16:15。
うーむ…答えにたどり着くまでには５分ぐらいかかったかな？
16：15。
僕は、こういう図形の問題が得意なので、10分で分かりました。ただ、パズル問題はEasyでも、僕には難しいんだよなー・・・