等面積の５つの三角形

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（解答）

　ＡＢ：ＡＣ＝１６：１５

（解き方）

○解き方１（藤島が考えたもの。相似形と合同を使う）

等面積の５つの三角形(解答）

まず、△ＤＡＦと△ＤＦＥの面積が等しいことから、ＡＤ＝ＤＥになることは、すぐにわかる。

次に、ＤＧとＥＦの交点をＨ、ＥＧとＢＦの交点をＩ、ＥＣとＢＧの交点をＪとする。
さらに、ＤからＡＣに平行な直線を引き、ＥＦと交わる点をＰ、ＦからＡＢに平行な直線を引き、ＥＧと交わる点をＱ、ＥからＡＣに平行な直線を引き、ＢＧと交わる点をＲとする。

まず、△ＤＦＥと△ＥＦＧの面積が等しいところから、ＤＨ＝ＨＧ。
また、∠ＤＨＰ＝∠ＧＨＦ　かつ　ＤＰとＦＧは平行より、∠ＨＤＰ＝∠ＨＧＦ、∠ＨＰＤ＝∠ＨＦＧ。
したがって、△ＨＰＤ≡△ＨＦＧ。（二つの三角形は合同）
故に、ＤＰ＝ＦＧ。…(1)

同様に、△ＥＦＧ＝△ＥＧＢ　より、△ＩＦＱ≡△ＩＢＥ　から、ＦＱ＝ＥＢ。…(2)
△ＥＧＢ＝△ＢＧＣ　より、△ＪＥＲ≡△ＪＣＧ　から、ＥＲ＝ＧＣ。…(3)

ここまで気づけば、あとは簡単。

ＥＢ＝１　と置く。
問題文の定義から、ＦＧ＝ＥＢ＝１。
(2)より、ＦＱ＝ＥＢ＝１。
すると、ＦＧ＝ＦＱ＝１　より、△ＦＧＱは二等辺三角形。
また、△ＧＦＱと△ＧＡＥが相似であるところから、△ＧＡＥも二等辺三角形。
したがって、ＡＥ＝ＡＧ。

次に、(1)より、ＤＰ＝ＦＧ＝１。
△ＥＤＰと△ＥＡＦとは相似で、ＡＤ＝ＤＥより、ＥＤ：ＥＡ＝１：２。
したがって、ＤＰ：ＡＦ＝１：２。ＤＰ＝１だから、ＡＦ＝２。
すると、ＡＧ＝ＡＦ＋ＦＧ＝２＋１＝３。ＡＥ＝ＡＧ＝３。
故に、ＡＢ＝ＡＥ＋ＥＢ＝３＋１＝４。

一方、△ＢＥＲと△ＢＡＧも相似で、ＢＥ：ＢＡ＝１：４だから、ＥＲ：ＡＧ＝１：４。
したがって、ＥＲ＝ＡＧ／４＝３／４。
(3)より、ＧＣ＝ＥＲ＝３／４。
故に、ＡＣ＝ＡＧ＋ＧＣ＝３＋３／４＝１５／４。

したがって、ＡＢ：ＡＣ＝４：（１５／４）＝１６：１５。

○解き方２（僕以外のみなさんからの解法。面積比を使う）

△ＡＤＦ：△ＡＥＦ＝１：２　より、ＡＤ：ＡＥ＝１：２
△ＡＥＧ：△ＡＢＧ＝３：４　より、ＡＥ：ＡＢ＝３：４
したがって、ＡＤ：ＡＥ：ＡＢ＝１．５：３：４
すると、ＡＤ：ＤＥ：ＥＢ＝１．５：１．５：１

△ＡＥＦ：△ＡＥＧ＝２：３　より、ＡＦ：ＡＧ＝２：３
△ＡＢＧ：△ＡＢＣ＝４：５　より、ＡＧ：ＧＣ＝４：５
したがって、ＡＦ：ＡＧ：ＡＣ＝２：３：（１５／４）
すると、ＡＦ：ＦＧ：ＧＣ＝２：１：（３／４）

ＥＢ＝ＦＧより、
ＡＢ：ＡＣ＝４：（１５／４）＝１６：１５

＃こちらの解き方の方が、圧倒的に簡単でした。僕が中学受験した３５年前には「面積比」って概念は、なかったんですよね（大汗）

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「等面積の５つの三角形」への10件のフィードバック

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  1. 16:15
    面積比の問題ですね。
    次女が中学受験なので早速、やらせてみようと思います。
    面積比を使うとＡＤ：ＤＥ：ＥＢ＝３：３：２
    ＡＦ：ＦＧ：ＧＣ＝８：４：３
    ＥＢとＦＧが等しいのでＡＢは２倍し１６：１５

    返信

  2. AC=5CE
    AB=4BE
    AG=3FG
    BE=FG=Ｘとすると
    AC=3Ｘ+AC/5
    AC=3.75X
    AB=4X
    AB:AC=4:3.75=16:15

    勉強を思い出しました。

    返信

  3. ＞でも、解き終えてみると、実にシンプルな解法で、面倒な計算は一切なし。図形に対するセンスのみが問われる良問でした。

    面積比を使う問題は、小学生にとってはやや難しいですが、
    中堅校以上では、基本となっています。
    本問題は、基本問題の一つと言えそうです。
    少し捻ると、下記のような問題が出てきます。
    http://arot.net/sanzyutsuman/public_html/Pages/unit23.html
    この問題はＡＰ：ＰＣをどうやって求めるかがポイントです。

    今年度は、他のサイトですが算数問題をずいぶん解いたおかげで算数力がＵＰしたみたいです。
    問題の難しさは下記２つが双璧と言えそうです。
    http://www.sansu.org/
    http://cdcdcd.sansu.org/pika/index.html
    算数にチャレンジは早解きが競われていますが、小職、半年参加して５位以内は４位を１回取っただけです。今週の問題も超難問でした（算数で解けずに数学で解きましたが、あっと驚く算数解法がありました）。

    返信

  6. AB:AC=16:15

    これと似た問題は、解いたことがあります。

    AD:DE:EB=6:6:4
    AF:FG:GC=8:4:3
    というところですね。

    仕事抜けて、本編の問題だけ早解きで解いたので、この問題見るのが遅くなっちゃいました。
    所要時間は、３分くらいってとこでしょうか。

    こんなこと書いてて間違ってたら、しゃれにもなりませんが････

    返信

  7. 解説を少し。

    まずは、辺ABの内分比について
    △AFD=△DFE なので、AD=DE (AD:DE=1:1)
    △AEG=△EGB×３ なので、AE:EB=3:1
    よって、
    AD:DE:EB=3:3:2

    次に、辺ACの内分比について
    △EAF=△EFG×２ なので、AF:FG=2:1
    △BAG=△BGC×４ なので、AG:GC=4:1
    よって、
    AF:FG:GC=8:4:3

    ここで、EB=FGなので、4でそろえると、
    AD:DE:EB=6:6:4（合計16→AB）
    AF:FG:GC=8:4:3（合計15→AC）

    よって、AB:AC=16:15 です。

    返信

  8. △AFG = △DFE だから、AD = DE この長さを a とする。
    △AFE = 2 x △EFG だから、AF = 2 x FG この FG の長さを b とする。
    △AGE = 3 x △EGB だから、AE = 3 x EB この EB の長さも条件より b
    △AGB = 4 x △BGC だから、AG = 4 x GC この GC の長さを c とする。
    以上を整理すると、AB = 4b
    AG = 3b = 4c c = 3/4b
    AC = 5c = 5(3/4b) = 15/4b
    AB : AC = 4b : 15/4b = 16 : 15

    AB : AC = 16 : 15

    返信

  9. 16:15

    △AGE と △EGB は、それぞれ AE 及び EB を底辺として見ると高さが等しい。
    また、面積が 3:1 なので、底辺も 3:1。すなわち、AE=3EB。
    あるいは、AB=AE+EB=3EB+EB=4EB。

    △AFE と △FEG は、それぞれ AF 及び FG を底辺として見ると高さが等しい。
    また、面積が 2:1 なので、底辺も 2:1。すなわち、AF=2FG。

    △AGB と △GBC は、それぞれ AG 及び GC を底辺として見ると高さが等しい。
    また、面積が 4:1 なので、底辺も 4:1。すなわち、AG=4GC。

    以上より、AC=AG+GC=AG+AG/4=5AG/4=5(AF+FG)/4=5(2FG+FG)/4=15FG/4

    ここで、FG=EB なので、AB:AC=4EB:15FG/4=16:15。

    うーむ…答えにたどり着くまでには５分ぐらいかかったかな？

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  10. 16：15。
    僕は、こういう図形の問題が得意なので、10分で分かりました。ただ、パズル問題はEasyでも、僕には難しいんだよなー・・・

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