立方体には、６つの面と８つの角があります。
この８つの角に、それぞれ１から８の数字を１つずつ置いて、各面の４つの角の数字の和が、すべて等しくなるようにするには、どのように置けば良いでしょうか？
２──３ ／ ａ ／│ １──４ｃ│ │ ｂ │ ８ │ │／ ５──６
たとえば、上図のように数字を置いた場合、
ａの面の角の数字の和は、１＋２＋３＋４＝１０
ｂの面の角の数字の和は、１＋４＋５＋６＝１６
ｃの面の角の数字の和は、３＋４＋６＋８＝２１
となりますね。これをうまく並べ替えて、６つの面のそれぞれの角の数字の和が、すべての面で等しくなるようにする問題です。
解答は、下の例のように、立方体を真上から見て、１が入る角が上面の左下に来て、上面の数字が時計回りに大きくなるように（下面の並び方には制限はありません）配置し、上面と下面のそれぞれ４つの角に、何の数字が入るのかを示すことで表してください。
（例）（上図のように並べる場合）
上面 ２３ １４ 下面 ７８ ５６
ページ: 1 2
７６
１４
２３
８５
○正解！
（藤島コメント：またまた圧勝。ほんと算数パズルは無敵ですね）
シード表と同じなので、すぐにできましたが、入力に時間がかかっちゃいました。
予想は、１位でお願いします。
でも、こういう問題、さいのぎさん速いんだよなぁ。
でもでも、強気に１位でお願いします。
（藤島コメント：これで「入力に時間がかかった」んですか…（絶句）。もちろん圧倒的トップですよ）
上
１８
６３
下
４５
７２
○正解！
（藤島コメント：はい、２等賞。普通これくらいの時間は、かかるよね）
上面
８３
１６
下面
５２
４７
○正解！
（藤島コメント：お、３等賞。がんばりました）
上面
８３
１６
下面
５２
４７
○正解！
（藤島コメント：はい、４等賞）
むはぁ～。７を除く１～９の数字で考えてたあよ。
なあにやってんだか、、、って、まだアンケート答えてる人いないし・・・。
こまったなぁ。騙されてる感はあるけど、２位予想で。
（藤島コメント：なかなか、いい読みでした。予想的中）
上
８５
１４
下
３２
６７
○正解！
（藤島コメント：はい、ベスト５に入りました）
予想順位４位でお願いします。
（藤島コメント：予想も的中です。おめでとうございます）
上面
81
27
下面
36
54
○正解！
（藤島コメント：惜しい、６位）
予想順位は3位で。
（藤島コメント：はい、予想的中。おめでとう）
残暑お見舞い申し上げます。
世間さまはお盆休みなのに、センセイにはお忙しいところパズルの出題採点、お手数をおかけいたします。ありがとうございます。
予想順位は…やっぱ５位。
まちがえてなきゃいいな。入ってるといいな。
（藤島コメント：おおっと、これまた予想的中。結局、ベスト５は全員予想的中という、珍しい記録が生まれました。ちなみに、Misaさんは、これで２０ポイント達成。重ねておめでとう）
６３
１８
４５
７２
１０位
○正解！
（藤島コメント：７位でした）
時間食ったから５位で
１～８を合計すると３６。
一つの頂点はそれぞれ３つの面の頂点になるから×３をして１０８。
面は６つ有るから÷６して１８。
従ってそれぞれの面の和は１８。
ここで、８をとりあえずおいてしまうと、和が１８になる組み合わせは４通り。
ここから先、冷静にやれば効率の良い方法も有りますが、まぁ、全パターン研究してもそんなに時間は掛からないっと。
（藤島コメント：惜しいね。６位でした）
上面
１８
７２
下面
６３
４５
１０位
○正解！
（藤島コメント：８位でした）
ゆりまま
上面 下面
４５ ７２
１８ ６３
投票数が少ないので８位でお願いします。
そんなに難しい問題ではないと思うんだけど、何か引っかけが・・・？？
○正解！
（藤島コメント：僕の想定したパーフェクトの解答が、ようやく現れてくれました。でも、順位は惜しくも９位。残念）
上面
１４
５８
下面
７６
３２
答えが何通りもあると思うのですが、この答えだけでいいのでしょうか？
順位は ２０位
今日もとっても自信がないです… （´。｀)
×残念！不正解
（藤島コメント：うーん、残念。これだと、和が１６の面と、２０の面ができちゃいますね。惜しい）
４６
１７
５３
８２
答え、間違えちゃいました。
っていうか、時計回りを反対に勘違いしちゃいました。
ははは、こりゃ愉快だね。・・・愉快じゃないって！
まあ、こんな日もあるってことですね。
予想は９位に変えておきます。
（藤島コメント：はい、こっちの解答はパーフェクトです。でも、最初のやつでも○にしたので、予想順位の変更も、なかったことにしておきます）
上面
７２
１８
下面
４５
６３
です！
各面の４つの角の和が１８になるように考えました！(^_-)-☆
○正解！
（藤島コメント：はい、きれいにできました）
PIPIです。
上面
１８
７２
下面
６３
４５
予想順位 18位 (旧盆で参加者の出足が遅いと予測)
解法
まず、１～８の合計は３６で、４数はその半分なので、１８
すなわち各面の和は１８と仮定
そして、１と８，２と７．．．．と組みにしていけば、これで９になるので、この組みを２組使った面は１８。
そうならない側面は、数をならべる時、５以上や、４以下の数が隣り合わないように配置。
確認したら、できていました。
○正解！
（藤島コメント：そうです。うまく考えましたね）
上面
１８
７２
下面
６３
４５
遅くなっちゃった– 23位
○正解！
（藤島コメント：１２位でした）
上面
６３
１８
下面
４５
７２
○正解！
ふぅ～。たった今、実家から帰ってきました。
久しぶりに自宅のパソコン開いてます。
先週金曜パズルもパスしちゃってたので新鮮な感じ。
予想順位？
１０位にしておきます。（もっと下だと思うけど・・）
（藤島コメント：そうですね。１３位でした。ちなみに、僕も１２日の深夜に西宮から東京に戻りました）
１３位
hal-9000さん情報の流星群を見に行ってきました。
朝、キャンプ場から携帯で挑戦したのですが、書き込みと同時に
電池切れ・・たぶん届かなかったと思いますので、帰宅一番で
パズルの宿題提出です。
（藤島コメント：いえいえ、６時５４分の解答も、ちゃんと届いていましたよ。そちらの方でカウントしておきました。ちなみに、こっちの解答を採用すれば、１３位で当たりだけど、それじゃあまりに恣意的すぎますからね）
上83 16 下52 47 こんな書き方で、わかるのでしょうか？おでかけしていて、はじめて携帯で、ブログ回答するので、どきどきです。予想は十五位くらいでm(__)m
○正解！
（藤島コメント：かなりわかりにくいし、解答方法のルール違反なんだけど、おまけしておきます。携帯でも、改行はちゃんと入れてくださいね。順位は惜しくも１４位）
○正解！
上面
６４
１７
下面
３５
８２
下図のように、頂点（問題文では角）にＡ～Ｈの名前を付ける。
１～８の和は３６。なので、各面の和は１８。
上面と手前の面を考えて、
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝Ｃ＋Ｄ＋Ｈ＋Ｇ（＝１８）
すなわち、Ａ＋Ｂ＝Ｈ＋Ｇ。
同様に考えると、辺の端点の和は、最も遠い辺同士で等しくなるので、
上の結果もあわせ、まとめて書くと、
Ａ＋Ｂ＝Ｈ＋Ｇ、Ｄ＋Ｃ＝Ｅ＋Ｆ ・・・（１）
Ａ＋Ｅ＝Ｃ＋Ｇ、Ｂ＋Ｆ＝Ｄ＋Ｈ ・・・（２）
Ａ＋Ｄ＝Ｆ＋Ｇ、Ｂ＋Ｃ＝Ｅ＋Ｈ ・・・（３）
ここで、（１）～（３）の２つの等式の値の和が１８になるのは明らか。
（例えば（１）から、（Ａ＋Ｂ）＋（Ｄ＋Ｃ）＝１８、など）
また、（１）～（３）にはＡ～Ｈ、すなわち１～８が全て一度ずつ
存在していることに注意する。
そこで、１～８を一度ずつ使い、２数の和がαとβ（α＋β＝１８、α≦β）
となる組（それぞれ２個ずつ）を考えると、以下の３通りのみしか存在しない。
（ア） α＝β＝９ の時
１＋８＝２＋７＝３＋６＝４＋５＝９
（イ） α＝８、β＝１０ の時
１＋７＝３＋５＝８、２＋８＝４＋６＝１０
（ウ） α＝７、β＝１１ の時
１＋６＝２＋５＝７、３＋８＝４＋７＝１１
ここで例えば、面ＡＢＣＤを考えると、Ａ＋Ｂ＝Ａ＋Ｄとなる事は
あり得ない（Ｂ＝Ｄとなってしまう）ので、（１）～（３）の中に
（ア）～（ウ）が２つ以上存在することはない。
つまり、（１）～（３）には（ア）～（ウ）が全て一度ずつ存在し、
ここにあらわれている足し算の２数を両端とする辺が存在する。
すなわち、辺は、
１－８、２－７、３－６、４－５、
１－７、３－５、２－８、４－６、
１－６、２－５、３－８、４－７
の１２本。
これを用いると、１の最近接には６、７、８の三頂点があり、
６から延びる他の二辺は３と４に繋がっており、、、と、
簡単に構造が決定でき、「回転」及び「向かい合う二面の対角線を
含む平面での鏡映」を除けば、上の解のみ。
＞ｂの面の角の数字の和は、１＋４＋５＋６＝１５
指摘、たくさんあるかな？ (笑)
○正解！
（藤島コメント：きれいな図をかいていただきました。でも、解答の並べ方は、本当は違うんですよ。でも、僕も足し算を間違えているようじゃ、だめですね (^_^;）
う～ん、最低大変だよなとは思ってたら、位置指定あったんすね（＞＜）。
上
６３
１８
下
４５
７２
２１位くらいかな。
（藤島コメント：「位置指定」を加味したら、この解答も実はだめなんだけど、最初のやつで○にしておきましたよ）
> ということで、真の正解者は、実はゆりままさんとサンパウロ坂本さん（２回目）のお二人だけなんですよ。
ということは、｢かしこい頭｣史上、最も正解者の少ない問題になっちゃうところだったんですね。
２人のうちの１人になることができて、とってもうれしいです。
これからも、ちゃんとちゃんと読まないと危ないですね。
「こんばんは｣とか・・・・・・
ほんまや、ちゃんと問題文読むのって大変！（苦笑）
他にも、ちゃんと読んでない人がいっぱいいたから、助かったのかな（^o^)。
昨日、解答を読んで初めて、解答の書き方に条件が付いている事を知りました。
＃ しょうもない間違いを指摘している場合ではなかった (^_^;;;
で、その場で少し考えてみたのですが、良く分からなかったのです。
で、その後もう少し考えてみた結果、現在の結論は、
○ 私の説明には、間違いが含まれている
○ 解答の書き方の指定は、問題文にあう解答に、さらに条件をつけて絞りこんでいることになっている
という事です。
○ 私の説明の間違いについて
α、βから絞りこむ部分で、（ア）～（ウ）しかないと書いてしまいましたが、これは間違い。
（エ） α＝５、β＝１３ の時
１＋４＝２＋３＝５、５＋８＝６＋７＝１３
というものが存在します。（α＝６、β＝１２は存在しないので、そこで考えるのを止めてしまっていました）
よって、（１）～（３）は、
（ア）１－８、２－７、３－６、４－５
（イ）１－７、３－５、２－８、４－６
（ウ）１－６、２－５、３－８、４－７
（エ）１－４、２－３、５－８、６－７
から３つを選ぶ事になります。
（Ａ） （ア）、（イ）、（ウ）を選んだ場合
１を含む面は、回転に沿って、１６３８、１７４６、１８２７
（Ｂ） （ア）、（イ）、（エ）を選んだ場合
１を含む面は、回転に沿って、１４６７、１７２８、１８５４
（Ｃ） （ア）、（ウ）、（エ）を選んだ場合
１を含む面は、回転に沿って、１４７６、１６３８、１８５４
（Ｄ） （イ）、（ウ）、（エ）を選んだ場合
（エ）が含まれているので、６－７の辺が存在するはず。
これは、（ウ）１－６と（イ）１－７が同時に存在することと矛盾。
よって、この組み合せによる解は存在しない。
以上より、問題を満たすものは（Ａ）～（Ｃ）の３通りであり、私の先日の解答の３倍存在することになります。
＃ （Ａ）～（Ｃ）の３つのカテゴリーは、数学的に言えば
＃ トポロジーが異なるという事になります
○ 解答の書き方の指定による、解答のさらなる絞り込みについて
１の位置を指定するのは、全く問題ありません。（一般性を失いません）
しかし、１を含む面内で時計回りに数値が大きくなるようにするためには、さらに解答の絞り込みが必要になってきます。
先日私が書いた対称操作「回転」及び「向かい合う二面の対角線を含む平面での鏡映」によっては、１を含む面の対角の位置にある数値は変化しません。
これに注意すると、（Ａ）のものでは、どんなに対称操作をしても１を含む面内で時計回りに数値が大きくなるようにすることは出来ません。
すなわち、このカテゴリーに含まれる解は除かれてしまうことになります。
（先日私が書いた解答は、ここに含まれています）
（Ｂ）では、面１４６７、あるいは面１８５４を上面にすることで記述が可能です。
（Ｃ）では、面１８５４を上面にすることで記述が可能です。
ということで、指定された解答方法での正解は、この３つになります。
（Ｃ）のカテゴリーに含まれる解がなかった事になりますね。
今までの正解者を分類してみると、、、
（Ａ）毬藻さん、Ｍｉｓａさん、桃燈さん、しゅうさん、ばらさん、
京美人さん、PIPIさん、toraさん、repyさん、703さん、
Clockwise、さいのぎさん（２回目）
（Ｂ）サンパウロ 坂本さん
（Ｃ）さいのぎさん（１回目）、バルタン星人さん、ゆりままさん、
makiさん
という事で、圧倒的に（Ａ）が多いですね。
この人たちは、解答条件を知っていても、条件通りの解を示せなかったはずです (笑)
さいのぎさんは、どうして１回目と２回目で、変えたのでしょうかねぇ…
ゆりままさんが真の正解だと書いておきながら、それが正解の２つの
どちらとも異なるのは何故？ (笑)
非常に勉強になる問題でした m(_ _)m
Clockwiseさん、丁寧な解説、ありがとうございました。
僕がこの問題の解き方を考えたときには、解答にも書いたように、まず２数の和が９になる組を４つ作り、それを上下に配置するという方針だったため、「上面を時計回りに大きくする」というのは、全く無理なくできたのでした。（１，４，６，７を、単に昇順に並べればいいため）
ただ、ふたを開けてみると、２数の和が９になる組のうち２つを、上面と下面にそれぞれ同じ向きに置くという並べ方をした人が多かったため、「上面時計回り昇順」を満たすことが、難しくなってしまったんですね。
ちなみに、僕がこの問題を採点したときも、結局、「和が９になる２数の組が、上面下面を通じてすべて同じ方向に並んでいるか」と「どこか１つの面に、１，４，６，７の４数がすべて含まれているか」を基準に、正誤を判断しました。このため、みいなさんの「和が９になる２数が斜めに並んでいる」組み合わせは、おかしいと気づいたのでした。
また、同様の考えから、僕自身の中では、
上面 下面
４５ ６３
１８ ７２
上面 下面
４５ ７２
１８ ６３
の２つの並べ方は、同じものという認識で、僕が最初に示した解答の２番目と、ゆりままさんの解答とが違うものだとは、正直全く気づきませんでした。
僕にとっても、とても勉強になりました。ありがとうございました。