（解答）
（１） ６通り
（２） ７２通り
（３） １０３６８通り
（解き方）
（以下は、バルタン星人さんによる解説です。）
団子が１個の時は、下記計算の６通り
（最初の行き）上中下３通り×（戻り）残りの２通り×（最後の行き）１通り
今ｎ個の団子の一筆書きがＡｎ通りのとき、団子が（ｎ＋１）になると何通りの書き方ができるかを考える。
ｎ個を書き終わってから、最後の１個を書く方法
→Ａｎ×６通り
ｎ個を書き終わる前に、最後の１個の２本を書き、ｎ個に戻ってから全て書き上げる方法
→Ａｎ×６通り
すなわち、団子１個増える毎に１２倍書き方が増えていく。
Ａｎ＝１／２×１２＾ｎ
ｎ＝２ ならば ６×１２＝７２
ｎ＝４ ならば ６×１２＾３＝１０３６８
（補足）
バルタン星人さんの解説は、ものすごくシンプルなので、ちょっとわかりにくかった方もいらっしゃるかもしれませんね。少し補足しておきます。
１個の場合は、問題ないでしょう。２個の場合には、どうなるでしょうか？
／＼／＼
Ａ─○─Ｃ─○─Ｂ
＼／＼／
あ い
ＡからＣまでの「団子」を「あ」、ＣからＢまでの団子を「い」とします。
すると、「あ」の団子の通り方は６通り、「い」の団子の通り方も６通りで、一見３６通りと考えたくなります。でも、これだけでは足りません。
「あ」の団子をの１つの道だけを通ったら、すぐ「い」の団子を通り始め、Ｃの場所まで戻ってから、「あ」の団子の残りの道を通ってＣに戻り、「い」の残りの道を通る、という通り方があるからです。さて、こちらは、何通りあるでしょうか？
実は、これも３６通りです。なぜなら、「あ」の道を甲さん、「い」の道を乙さんの２人で手分けして通るとすると、最初の通り方は、甲さんが「あ」をすべて通り終えてから、乙さんにバトンタッチする方法ですが、後の通り方は、甲さんが「あ」を通り終える前に乙さんにバトンタッチする方法と考えられます。ただ、どちらにせよ、甲さんが「あ」を通る通り方は６通り、乙さんが「い」を通る通り方も６通りで同じだからです。（乙さんが動いている間は、甲さんはＣでお休みしていると想像してみてください）
したがって、団子２個の場合は、３６＋３６＝７２通り。
では、３個では、どうでしょう？
同様に考えると、最後の１個の団子を全く通らないで、残りの団子をすべて通り終えてからバトンタッチする方法が７２×６通り、最後の団子の道を１本残して通ってから残りの団子に戻って通り直し、最後の団子の残りの道を通って完結させる方法が、やはり７２通り×６通りあることが、おわかりになると思います。（理解しにくかったら、やはり団子ごとに違う人がいて、バトンタッチで道を埋めていく、自分の団子の中を動いていない人は、つなぎの部分でお休みしている、と考えてみてください。）
以上の考え方により、団子が１個増えるごとに、１２倍ずつ道が増えていくことになり、バルタン星人さんの式が正しいことになります。
（さいのぎさんによるエレガントな別解）
節の数はn-1個。
その節にきてすぐ引き返すか、とりあえず進んであとから引き返すかの、２通り
ある。
それぞれの節で２通りずつあるので、２^(n-i)通り考えられる。
団子は一個につき６通りあるので、
n個だと６^n
二つをかけあわせて、
Ａ(n)＝２^(n-1)･６^n
が解となる。
（１）６
（２）７２
（３）５１８４
（藤島コメント：残念。（３）が少なすぎました。その２倍ありましたね。ー１点です。）
（１）６通り（３×２）
（２）３６通り（３×３×２×２）
（３）１２９６通り（３×３×３×３×２×２×２×２）
(1)2
(2)8
(3)64
あんまり自信ありませんが。とりあえずこれで＾＾；
ちょっと解くのが遅すぎですね＞＜
（１）
a→dの行き方が３通り、d→aに帰ってくるのが残りの２通り、
さらに、a→dに行くのは自動的に決まるので、
３×２（×１）＝６通り・・・（答）
（２）
２通りにわける。
・まず、a→dまでの道を全部潰したあと、d→gの道を制覇する方法
これは、（１）より６×６＝３６通り
・次に、まずいっきにa→gまでいって、残りの道を潰す方法は、
a→dが３通り、d→gも３通り、
g→dが残りの２通りで、d→aも同様に２通りだから、
３×３×２×２（×１×１）＝３６通り
∴３６＋３６＝７２通り・・・（答）
【あ、お手つきしちゃった！と気づく・・・】
（３）
５通りにわける。
●１ブロック、１ブロック、１ブロック、１ブロック
６×６×６×６＝１２９６通り
●２ブロック、１ブロック、１ブロック（並び替えが３通り）
７２×６×６×３＝７７７６通り
●２ブロック、２ブロック
（２）より、７２×７２＝５１８４通り
●３ブロック、１ブロック（並び替えが２通り）
まずは３ブロックを計算。
・１ブロック、１ブロック、１ブロック
６×６×６＝２１６通り
・２ブロック、１ブロック（並べ替えが２通り）
７２×６×２＝８６４通り
・３ブロック
３×３×３×２×２×２＝２１６通り
→２１６＋８６４＋２１６＝１２９６通り
∴１２９６×６×２＝１５５５２通り
●４ブロック
３×３×３×３×２×２×２×２＝６^４＝１２９６通り
１２９６＋７７７６＋５１８４＋１５５５２＋１２９６
＝３１１０４通り・・・（答）
ん～、ｎブロックあった場合は、
６＾ｎ＋ｎ！通りになることが推測されるけど、
証明は割愛（つか、めんどい）。
P.S.学生になった気分。
あ、さらにミスってる・・・。
６＾ｎ×６！ですね。。。
ボロボロや。
（１）６通り ３！＝６通り
（２）７２通り （３！×３！）×２＝７２通り
（３）１０３８６通り （３！×３！×３！×３！）×８＝１０３８６通り
（藤島コメント：はい、トップ正解でした。さすがサンパウロ坂本さん！）
（１）６
（２）７２
（３）１０３６８
（藤島コメント：はい、２人目の正解です。お見事でした。）
（藤島コメント：３番目の正解者です。さすがですね。）
（１）だけあってますね〜
(１) ６通り
(２) ７２通り
(３) １０３６８通り
難しかったわぁ・・・たぶんこれでいい？
ひし形が3個の場合は８６４通りなので(３)はそれに×12しました。
（藤島コメント：はい、正解です。４人目で女性ではトップ。がんばりましたねー。）
（１）３通り
（２）９通り
（３）８１通り
…ほんと？
違いますよね、☆☆☆☆もついてるもん…。
私の答え間違ってますね（恥
そのうち（ぇ）解きなおします
うはぁ、ダメダメだ。
５ブロックでといてみたところ、６＾５＋１１２になって、予想と違う。
もう、わけわかんない。
hal-9000さんとclockwiseさんの解説に期待しよっと(´･ω･`；)。
(1)６通り
(2)７２通り
(3)１０３６８通り
やってみたら１分かからなかった。これで正解なら簡単な問題だったな…
真面目に朝早起きすれば良かった…
因みに、解き方。
(1)３×２
(2)２×（６＾２）
(3)８×（６＾４）
（藤島コメント：おお、１分かからないですか。さすが現役学生。お見それしました。）
（１）６通り
（２）３６通り
（３）１２９６通り
（１）
すべての道を１回ずつ通るので、求められている場合の数は、
ａ－ｄ、ａ－ｂ－ｄ、ａ－ｃ－ｄの道筋に、１回目の行き、
帰り、２回目の行きの３通りを割り当てる割り当て方の数になる。
よって、
３×２×１＝６通り
（２）
ａからｄまでは（１）で求めた６通り。それぞれの場合に対して、
ｄからｇまで同じく６通りあるので、全体を考えると
６×６＝３６通り
（３）
（２）の応用。ａからｄ、ｄからｇ、ｇからｊ、ｊからｍは全て
６通りなので、全体では
６×６×６×６＝１２９６通り
小学～中学ぐらいの算数（数学）の問題？
経路をもうちょっと複雑にしたら、中学や高校入試の問題にもできるかも。
（藤島コメント：おや、しっかり引っかかっちゃいましたね。）
紆余曲折、右往左往・・・したけど、
ｎ個のブロックがあった時は、
２＾（ｎ－１）×６＾ｎに落ち着きました。
学生時代の漸化式っぽいのをバリバリとく方法も見つけたし、
結構エレガントと思える解法も見つけました（多分）。
が、なにぶん、酔っ払いでこの時間で初のマイナスポイントの心理状況。
またの機会にしまする。
それまでに、誰かが書いてそ～（苦笑）。
正解でした・・・早めに諦めて! orz
答えを見ても、わかったようで？わかってないかも。
長男が新婚旅行に出ているので忙しい～
エッセンスのみ書きます。
団子の数をｎ、その時の場合の数をＡ(n)、団子の連結点を節とします。
【ゴリゴリした別解】
Ａ(1)＝３×２×１＝６
Ａ(n)＝６^１･Ａ(n-1)＋６^２･Ａ(n-2)＋……＋６^(n-1)･Ａ(1)＋６^n
Ａ(n+1)－６･Ａ(n)＝６･Ａ(n)
∴Ａ(n)＝２^(n-1)･６^n
さすがに、省略しすぎか・・・。
１個目の節で折り返した場合、残りは団子n-1個の場合の数だから６･Ａ(n-1)。
同様に２個めの節で初めて折り返した場合は、２個目の節までが６^２通り、
残りは団子n-2個の場合の数だからＡ(n-2)。よって６^２･Ａ(n-2)。
以下同じように、初めて折り返す節を考えていき、足し合わせると上記の式となる。
【エレガントな？別解】
節の数はn-1個。
その節にきてすぐ引き返すか、とりあえず進んであとから引き返すかの、２通りある。
それぞれの節で２通りずつあるので、２^(n-i)通り考えられる。
団子は一個につき６通りあるので、
n個だと６^n
二つをかけあわせて、
Ａ(n)＝２^(n-1)･６^n
が解となる。
（藤島コメント：なるほど、サンパウロ坂本さんの「×８」の意味が、実は僕にはよくわからなかったのですが、さいのぎさんのご説明で、よく腑に落ちました。美しい解法ですね。ありがとうございました。）
（藤島コメント：はい、正解です。しかも、わかりやすい説明でした。）