カテゴリー: 自然数

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上の数字は、２つの「１」の間に数字が１個、２つの「２」の間に数字が２個、２つの「３」の間に数字が３個入っています。

ここに「４」を２つ加えて、２つの「１」の間に数字が１個、２つの「２」の間
に数字が２個、２つの「３」の間に数字が３個、２つの「４」の間に数字が４個
入った、８桁の数字を作ってください。
なお、求めた数字の逆順も、必ず条件を満たしますので、そのうち大きい方の数字を示してください。

０から９までのすべての数字を１回ずつ使って、次のすべての条件を満たす１０桁の数字を作ってください。

１　最初の１桁の数字が１で割り切れる。
２　最初の２桁の数字が２で割り切れる。
３　最初の３桁の数字が３で割り切れる。
４　最初の４桁の数字が４で割り切れる。
５　最初の５桁の数字が５で割り切れる。
６　最初の６桁の数字が６で割り切れる。
７　最初の７桁の数字が７で割り切れる。
８　最初の８桁の数字が８で割り切れる。
９　最初の９桁の数字が９で割り切れる。
10　最初の10桁の数字が10で割り切れる。

なお、上の条件は、たとえば「１０５６」という数字なら、最初の数字「１」が１で割り切れ、最初の２桁の数字「１０」が２で割り切れ、最初の３桁の数字「１０５」が３で割り切れ、かつ、最初の４桁の数字「１０５６」が４で割り切れる。したがって、この４桁の整数は、最初の４つすべて条件を満たしていることを意味しています。

「０１２３４５６７８９」の１０個の数字を並び替えて１０桁の整数を作り、このような数字にするのが、今日の問題です。

[latex]\quicklatex{size=25}\frac{162}{(1+6+2)^{2}}=2[/latex]

上のように、すべて異なる３つの数から成る３桁の整数であって、元の数を、各位の数の和を２乗したもので割ったときに、ちょうど割り切れるものを、すべて挙げてください。

　8,101,265,822,784 ÷ 8 ＝ 1,012,658,227,848

上の式は、最初に８で始まる１３桁の整数が、８で割られることによって、先頭にあった８が最後に来て、しかも、それに押し出されるように、すべて１つずつ前の桁にずれ、その並ぶ順番は全く変わらない商になるという、おもしろい性質を持っています。

　８１０１２６５８２２７８４　÷　８
　│
＝│１０１２６５８２２７８４８
　│　　　　　　　　　　　　↑
　└────────────┘

それでは、同様に、７で始まる複数桁の整数で、７で割られることにより、先頭の７が最後に来て、他の桁の数字がそれぞれ１つずつ前に来る商となるもののうち、最小の桁数のものを、見つけてください。

ＡＢＣＤＥＦ×１＝ＡＢＣＤＥＦ
ＡＢＣＤＥＦ×２＝ＣＤＥＦＡＢ
ＡＢＣＤＥＦ×３＝ＢＣＤＥＦＡ
ＡＢＣＤＥＦ×４＝ＥＦＡＢＣＤ
ＡＢＣＤＥＦ×５＝ＦＡＢＣＤＥ
ＡＢＣＤＥＦ×６＝ＤＥＦＡＢＣ

となる、ＡＢＣＤＥＦ　の組み合わせを見つけてください。

０から９までの数を１回ずつ使ってできる１０桁の整数のうち、１１で割り切れる最大の数と最小の数は、それぞれ何でしょう？

次の条件を満たす計算式を、それぞれ考えてください。なお、数字を使う順番は、変えてもかまいません。
（１）　「１ １ ９ ９」の４つの数字を１回ずつ使って計算し、結果を１０にしてください。
（２）　５を３回使って計算し、結果を１にしてください。
（３）　５を５回使って計算し、結果が５５になるものを、３通り示してください。
（４）　１桁の同じ数字を３回使って計算し、結果が２０になるものを、４通り示してください。
　　　　ただし、「２×２＋２」と「２＋２×２」のように、単に計算の順番を入れ替えただけのものは、１通りと数えます。