（解答）
１３７３，１９９７，３１３７，３７９７
（Clockwiさんによるさらに詳しい分析）
○ 自然数を２つに分けた時、どこで分けてもどちらも素数になる数（便宜的に1も素数とする）
一般化して探してみました。
11、13、17、23、31、37、53、71、73
113、131、137、173、197、311、313、317、373、797
1373、1997、3137、3797、7331
73331
739397
9桁（正確には21億）まで探したのですが、これ以上はないので、おそらくこれで全てではないかと。
本当は12桁まで探してなければ完璧なのですが、32ビット符号つき整数だと、このあたりで最大値になるので、これ以上はいろいろ面倒なのです (汗)
○ 自然数を分解した時、どの破片も素数になる数
たとえば 1997 は上には含まれますが、真ん中の 99 は素数ではないので、こちらではそういうものは除いて数えます。
11、13、17、23、31、37、53、71、73
113、131、137、173、311、313、317、373
1373、3137
こちらは、これ以外にはありません。
一般的な考え方の通り１を素数と見なさなければ、23、37、53、73、373の５つしかないのですねぇ…
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1971,1373,3137,3797
素数表とにらめっこ
ありゃりゃ、最初が間違っている
1373 1,13,137,373,73,3
1997 1,19,199,997,97,7
3137 3,31,313,137,37,7
7331 7,73,733,331,31,1
探し出しました。
４つ揃ったと思いましたが、問題中の解を忘れてました。
バルタン星人さま、しゅうさま
大変手間のかかることをお疲れ様でした。１９９７年の年賀状を考えたときに年号を眺めていて思いつきました。
該当する４桁の数は下記の５つだと思います。
1373 1,373,13,73,137,3
1997 1,997,19,97,199,7
3137 3,137,31,37,313,7
3797 3,797,37,97,379,7
7331 7,331,73,31,733,1
1337 1 337 13 37 133 7
1997 1 997 19 97 199 7
3137 3 137 31 37 313 7
3797 3 797 37 97 379 7