正四角錐を切る平面

（正解）
(1) OR:RC = 1:2
(2) OR:RC = 1:3

（解き方）
(1)

問題の四角錐をBを手前にして、BとDが一直線上に重なって見えるように真横から見ると、
PはOBの中点、RはODの中点なので、PとQも重なって見え、結局上図のように見える。
これを二次元平面図と見立て、Oを通ってACに平行な直線と、ARの延長線との交点をMとする。
すると、OP=PB、∠MPO=∠APB、∠ABP=∠MOP=90° だから、△ABP≡三角形MOP。
したがって、MO=AB。
また、AB=BC だから、OM:AC = 1:2。
次に、△OMRと△CARにおいて、OMとACが平行だからそれぞれの錯角は等しいので、この２つの三角形は相似。
したがって、OR:RC = OM:AC = 1:2。
(2)

(1)と同様にBとDが重なるようにBの側から見ることにするが、今度はPとQは重ならない。
OACを通る平面と、直線PQとの交点をSとすると、ASの延長線がOCと交わった点がRとなるので、まず、OS:SBを求めることとする。
下図は、四角錐を真上から見た図だが、ここでSはOの真下にあってOと重なっている。
OP:PB = 1:1 だから、OP = 1/2・1/2・DB = 1/4・DB。
OQ:QD = 1:2 だから、OQ = 1/3・1/2・DB = 1/6・DB。
したがって、OQ:OP = 1/6 : 1/4 = 2:3。
したがって、上図において、QS:SP = 2:3。
上図で、OQ:QB = 1:2 より、OQ = 1/3・OB。また、OP:PB = 1:1 より、PB = 1/2・OB。
したがって、QP = (1-1/3-1/2)・OB = 1/6・OB。
QS:SP = 2:3 より、QS = 2/(2+3)・1/6・OB = 1/15・OB、SP = 3/(2+3)・1/6・OB = 1/10・OB。
OS:SB = (OQ+QS):(SP+PB) = (1/3・OB + 1/15・OB):(1/10・OB + 1/2・OB) = 6/15 : 6/10 = 2:3。
(1)と同様、△OMS と △BAS は相似形になるから、OM:AB = OS:SB = 2:3。
AC = 1 とすると、AB = 1/2・AC だから、OM = 2/3・AB = 2/3・1/2・AC = 1/3・AC。
OM:AC = 1:3。
△OMR と △CAR も相似形だから、OR:RC = OM:AC = 1:3。