（解答）
２ ５ ５ × ２ ＝ ５ １ ０ ┣━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━┫ △
（２×３＋５×２＋５＝２＋５×３＋１×４＋０×５）
（藤島の解法）
バランス
Ａ×３＋Ｂ×２＋Ｃ＝Ｄ＋Ｅ×３＋Ｆ×４＋Ｇ×５
Ｄ＝１だと、Ａ＝Ｅとなるため、Ｆ＝Ｇ＝０としない限り右が重くなる。
（Ｂ＝Ｆ、Ｃ＝Ｇでもあるため）
しかし、そうしても結局Ｄの分右が重くなるので不可。
したがって、まずＤ＝２を仮定。
右を軽くするため、右端のＧ＝０を仮定。すると、Ｃ＝０または５。
左は重い方がいいので、Ｃ＝５と置く。
さらに、右を軽くするために、まずＦ＝０を仮定。
Ａは１以上なので、Ｅは２以上。
Ｅが偶数の場合、ＢＣ＝００にしかならず、Ｅ＝Ａ×２なので、常に左が軽すぎる。
したがってＥは奇数。
Ｅ＝３の場合、ＡＢＣ＝１５０。
このときのバランスは、
１×３＋５×２＋０＞２×１＋３×３＋０＋０ で左が重い。
Ｅ＝５の場合、ＡＢＣ＝２５０。
このときのバランスは、
２×３＋５×２＋０＜２×１＋５×３＋０＋０ で右が重い。
また、Ｅ＝７，９とも、右が重くなるので不可。
したがって、Ｆ＝０は不可。次にＦ＝１を仮定。
すると、ＡＢ５×２＝Ｅ１０
この場合、Ｂには０と５が考えられるが、左側を重くするためにＢ＝５を仮定。
Ａ＝１の場合、ＡＢＣ＝１５５、ＥＦＧ＝３１０
このときのバランスは、
１×３＋５×２＋５＞２×１＋３×３＋１×４＋０ で左が重い。
Ａ＝２の場合、ＡＢＣ＝２５５、ＥＦＧ＝５１０
このときのバランスは、
２×３＋５×２＋５＝２×１＋５×３＋１×４＋０ でバランスがとれる。
したがって、少なくともこれが正しい答えの一つ。
（唯一解の証明は省略）
（Clockwiseさんの解法）
以下、[ABC]=100A+10B+C 等々のように書き表す。
1桁の数でない限り最初の桁は 0ではないので、A≠0、E≠0 (1)
数式より、[ABC]xD=[EFG] (2)
バランスより、3A+2B+C=D+3E+4F+5G (3)
この左右の項を L=3A+2B+C、R=D+3E+4F+5G とする。(ア) D=0 の時
E=0 となって (1) に反する。(イ) D=1 の時
(2) より [ABC]=[EFG]。この時 (3) は 0=D+2F+4G≧1 となって解なし。(ウ) D=2 の時
(2) より 100≦[ABC]≦499、200≦[EFG]≦998。
L≦39 ([ABC]=499, [EFG]=998) なので R≦39 より [EFG]≦930, F≦7, G≦6。
最大値を取る [EFG] が範囲外になるので L の最大値は小さくなる。
L≦33 ([ABC]=388, [EFG]=776) なので R≦33 より [EFG]≦910, F≦6, G≦5。
再び最大値を取る [EFG] が範囲外になるので L の最大値はさらに小さくなる。
L≦30 ([ABC]=377, [EFG]=754) なので R≦30 より [EFG]≦900, F≦5, G≦4。
R≧8 ([ABC]=100,[EFG]=200) すなわち L≧8 より [ABC]≧105。
最小値を取る [ABC] が範囲外になるので R の最小値は大きくなる。
R≧11 ([ABC]=150, [EFG]=300) すなわち L≧11 より [ABC]≧108。
ただし、F≦5, G≦4 より [ABC]=108,109 はダメなので [ABC]≧110。
よって、110≦[ABC]≦450, 220≦[EFG]≦900, F≦5, G≦4 (B,C=0,1,2,5,6,7)。(ウー１) A=1 すなわち 110≦[ABC]≦199, 220≦[EFG]≦398, F≦5, G≦4 の時
L≦24 ([ABC]=177, [EFG]=354) なので R≦24 より [EFG]≦330, F≦4, G≦3。
最大値を取る [EFG] が範囲外になるので L の最大値は小さくなる。
L≦20 ([ABC]=165, [EFG]=330) なので R≦20 より [EFG]≦320, F≦3, G≦2。
再び最大値を取る [EFG] が範囲外になるので L の最大値はさらに小さくなる。
L≦19 ([ABC]=156, [EFG]=312) なので R≦19 より [EFG]≦320, F≦2, G≦2。
よって、110≦[ABC]≦160、220≦[EFG]≦320, F≦2, G≦2 (B,C=0,1,5,6)。
この範囲で 11≦L=R≦19 及び [EFG] が 2 で割り切れるものは、
[EFG] [ABC] L R
300 150 13 11
310 155 18 15
320 160 15 19
すなわち L=R となる解はない。(ウー２) A=2 すなわち 200≦[ABC]≦299, 400≦[EFG]≦598, F≦5, G≦4 の時
L≦27 ([ABC]=277, [EFG]=554) なので R≦27 より [EFG]≦520, F≦3, G≦2。
最大値を取る [EFG] が範囲外になるので L の最大値は小さくなる。
L≦22 ([ABC]=256, [EFG]=512) なので R≦22 より [EFG]≦510, F≦2, G≦1。
再び最大値を取る [EFG] が範囲外になるので L の最大値はさらに小さくなる。
L≦21 ([ABC]=255, [EFG]=510) なので R≦21 より [EFG]≦510, F≦1, G≦1。
R≧14 ([ABC]=200, [EFG]=400) なので L≧14 より [ABC]≧208。
最小値を取る [ABC] が範囲外になるので R の最小値は大きくなる。
R≧17 ([ABC]=250, [EFG]=500) なので L≧17 より [ABC]≧219。
ただし、F≦1, G≦1 より [ABC]=219-249 はダメなので [ABC]≧250。
よって、250≦[ABC]≦255、500≦[EFG]≦510, F≦1, G≦1 (B,C=0,5)。
この範囲で 17≦L=R≦21 及び [EFG] が 2 で割り切れるものは、
[EFG] [ABC] L R
510 255 21 21
すなわち [EFG]=510, [ABC]=255 の時に L=R=21。(ウー３) A=3 すなわち 300≦[ABC]≦399, 600≦[EFG]≦798, F≦5, G≦4 の時
L≦30 ([ABC]=377, [EFG]=754) なので R≦30 より [EFG]≦720, F≦2, G≦2。
最大値を取る [EFG] が範囲外になるので L の最大値は小さくなる。
L≦25 ([ABC]=356, [EFG]=712) なので R≦25 より [EFG]≦700, F≦1, G≦1。
再び最大値を取る [EFG] が範囲外になるので L の最大値はさらに小さくなる。
L≦19 ([ABC]=350, [EFG]=700) なので R≦19 より解なし。(ウー４) A=4 すなわち 400≦[ABC]≦450, 800≦[EFG]≦900, F≦5, G≦4 の時
L≦23 ([ABC]=427, [EFG]=854) すなわち R≦23 より解なし。(エ) D=3 の時
(2) より 100≦[ABC]≦333、300≦[EFG]≦999。
L≦33 ([ABC]=299, [EFG]=899) なので R≦33 より [EFG]≦900, F≦5, G≦4。
最大値を取る [EFG] が範囲外になるので L の最大値は小さくなる。
L≦28 ([ABC]=278, [EFG]=834) なので R≦28 より [EFG]≦800, F≦4, G≦3。
再び最大値を取る [EFG] が範囲外になるので L の最大値はさらに小さくなる。
L≦24 ([ABC]=177, [EFG]=531) なので R≦24 より [EFG]≦700, F≦3, G≦2。
R≧12 ([ABC]=100, [EFG]=300) なので L≧12 より [ABC]≧109。
最小値を取る [ABC] が範囲外になるので R の最小値は大きくなる。
R≧21 ([ABC]=200, [EFG]=600) なので L≧21 より [ABC]≧158。
ただし、F≦3, G≦2 より [ABC]=158-166 はダメなので [ABC]≧167, [EFG]≧501。
L≦24 ([ABC]=177, [EFG]=531) なので R≦24 より [EFG]≦700, F≦1, G≦1。
最大値を取る [EFG] が範囲外になるので L の最大値は小さくなる。
L≦19 ([ABC]=237, [EFG]=711) なので R≦19 すなわち解なし。(オ) D≧4 の時
(2) より 100≦[ABC]≦249、400≦[EFG]≦999。
L≦30 ([ABC]=199, D=4, [EFG]=796) なので R≦30 より [EFG]≦800, F≦3, G≦2。
最大値を取る [EFG] が範囲外になるので L の最大値は小さくなる。
L≦22 ([ABC]=175, D=4, [EFG]=700 又は [ABC]=183, D=4, [EFG]=732) なので
R≦22 より [EFG]≦600, F≦1, G≦1。
再び最大値を取る [EFG] が範囲外になるので L の最大値はさらに小さくなる。
L≦13 ([ABC]=150, D=4, [EFG]=600) なので R≦13 すなわち解なし。以上より、[ABC]=255, D=2, [EFG]=510 が唯一解。
（解答者一覧）
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