（解答例）
ＭからＢＣに平行に引いた直線とＡＣとの交点をＰとする。
すると、△ＡＭＰと△ＡＢＣは相似で、ＡＢ＝ＡＣだから、ＡＭ＝ＡＰ また ＭＢ＝ＰＣ。
また、∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢだから、△ＭＢＣと△ＰＣＢは、２辺が等しく（ＭＢ＝ＰＣ、ＢＣ共通）、その挟角も等しいので合同。したがって、∠ＢＣＭ＝∠ＣＢＰ。
また、ＡＮ：ＮＢ＝２：１、ＡＣ：ＡＰ＝ＡＢ：ＡＭ＝２：１で、∠Ａが共通だから、△ＡＮＣと△ＡＢＰとは相似。したがって、ＮＣとＢＰとは平行。
したがって、∠ＢＣＮ＝∠ＰＢＣ。
ゆえに、∠ＢＣＭ＝∠ＰＢＣ＝∠ＢＣＮ。
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ＢＣに対するＡの対称点をＤとすると
ＡＢＤＣは菱形、ＢＮＤＣは平行四辺形になる。
ＣＮとＢＤの交点をＬとすると、対角線は互いに
他を二等分するのでＢＬ＝ＬＤ
ＭＢ＝ＢＬ（＝１／２ＡＢ）
＜ＭＢＣ＝＜ＬＢＣ
ＢＣは共通
二辺狭角が同じなので△ＭＢＣ≡△ＤＢＣ
故に＜ＭＣＢ＝＜ＢＣＮ
難関中学の入試問題に出てきそうな問題ですね。
今の小学生は合同条件も習っていますので、
平気で解いてしまいそうです。
うん、解き方が異なったな。
私の解き方の方が少しだけスマートかな？
辺ＢＣを対称の軸としてＮと対称な点をＮ’とおく。
すると、ＡＣＢＮ’は平行四辺形になる。(詳しい説明は省略)
ＣＮ’は、平行四辺形ＡＣＢＮ’の対角線であり、
Ｍは対角線ＡＢの中点なので、ＣＭは対角線の一部となる。
よって、ＣＮ’とＣＭは一致する。
だから、
∠ＢＣＭ＝∠ＢＣＮ’＝∠ＢＣＮ
Aを原点、Mを（１，０）とする座標軸で考える。
Cのx座標をaとして（aは負の場合もある）、三平方を使いまくって全部の線分の長さをaの式で求める。
ここで余弦定理が使えれば一発なんですが、、
どうするのがいいのかな？やはり合同にもっていくのかな？Bから、CNとCMに垂線を引いて直角三角形を２つつくる。で、2つの垂線の長さが等しいことを示す。手間はかかりますができます。
解析幾何を使えば、面倒ですが答えにはいきつく。補助線を引く方法は、（この例はそうでもないんでしょうが）簡単だが確実性の点でいまいち。
どっちがいいんでしょうね。