AB=ACである二等辺三角形ABCを考える。辺ABの中点をMとし、辺ABを延長した直線上に点Nを、AN:NB=2:1になるようにとる。このとき∠BCM=∠BCNとなることを示せ。ただし、点Nは辺AB上に無いものとする。
（この問題を提供してくださった桃燈さんからのコメント）
図形問題２の方の出典は何となく伏せておきます＾＾分かる人
には分かるかもしれませんが…
高校生の数学のレベルだったらいくらか解答方法が有るようで
（現段階で私は５つ確認してます）すが、そのうちに、中学生
の数学のレベルで解ける方法が存在していますので、やはりパ
ズルとして通用すると思います。
こちらは１に比べて楽な問題かと思いますが＾＾
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ＢＣに対するＡの対称点をＤとすると
ＡＢＤＣは菱形、ＢＮＤＣは平行四辺形になる。
ＣＮとＢＤの交点をＬとすると、対角線は互いに
他を二等分するのでＢＬ＝ＬＤ
ＭＢ＝ＢＬ（＝１／２ＡＢ）
＜ＭＢＣ＝＜ＬＢＣ
ＢＣは共通
二辺狭角が同じなので△ＭＢＣ≡△ＤＢＣ
故に＜ＭＣＢ＝＜ＢＣＮ
難関中学の入試問題に出てきそうな問題ですね。
今の小学生は合同条件も習っていますので、
平気で解いてしまいそうです。
うん、解き方が異なったな。
私の解き方の方が少しだけスマートかな？
辺ＢＣを対称の軸としてＮと対称な点をＮ’とおく。
すると、ＡＣＢＮ’は平行四辺形になる。(詳しい説明は省略)
ＣＮ’は、平行四辺形ＡＣＢＮ’の対角線であり、
Ｍは対角線ＡＢの中点なので、ＣＭは対角線の一部となる。
よって、ＣＮ’とＣＭは一致する。
だから、
∠ＢＣＭ＝∠ＢＣＮ’＝∠ＢＣＮ
Aを原点、Mを（１，０）とする座標軸で考える。
Cのx座標をaとして（aは負の場合もある）、三平方を使いまくって全部の線分の長さをaの式で求める。
ここで余弦定理が使えれば一発なんですが、、
どうするのがいいのかな？やはり合同にもっていくのかな？Bから、CNとCMに垂線を引いて直角三角形を２つつくる。で、2つの垂線の長さが等しいことを示す。手間はかかりますができます。
解析幾何を使えば、面倒ですが答えにはいきつく。補助線を引く方法は、（この例はそうでもないんでしょうが）簡単だが確実性の点でいまいち。
どっちがいいんでしょうね。