（解答）
[latex]\quicklatex{size=30}\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{8}[/latex] cm2（解き方）
ＡからＢＣに平行に引いた線とＥＤとの交点をＰ、ＡＧを斜辺とする直角二等辺三角形の直角の頂点をＱ、ＱからＡＰに下ろした垂線の足をＲ、ＧからＡＰに下ろした垂線の足をＴ、ＱからＡＰに平行に引いた線とＧＴの延長線との交点をＳとする。
△ＡＦＧの面積は、[latex]\quicklatex{size=20}\frac{AF*AT}{2}[/latex]で求めることができる。
まず、△ＡＢＣは正三角形で、ＦはＢＣの中点だから、ＢＦ＝１ｃｍ。また、∠ＡＦＢは直角。
すると、三平方の定理を使って、[latex]AF=\sqrt{2*2-1*1}=\sqrt{3}[/latex]ｃｍ が求まる。
次にＡＴの長さを求める。
まず、ＡＰとＦＣは平行だから、∠ＦＡＰ＝９０°
∠ＦＡＣ＝３０°、∠ＣＡＤ＝４５°だから、∠ＤＡＰ＝９０°－（３０°＋４５°）＝１５°
∠ＤＡＧ＝３０°だから、∠ＰＡＧ＝３０°－１５°＝１５°
△ＡＱＧは直角二等辺三角形だから、∠ＧＡＱ＝４５°
したがって、∠ＤＡＱ＝４５°－３０°＝１５°
ゆえに、∠ＱＡＲ＝１５°＋１５°＝３０°
また、∠ＡＲＱ＝９０°だから、∠ＡＱＲ＝６０°。
したがって、△ＡＱＲは△ＡＢＦと相似で、ＡＱ：ＱＲ：ＡＲ＝２：１：[latex]\sqrt{3}[/latex]
ＡＧ＝１ｃｍで、△ＡＱＧは直角二等辺三角形だから、ＡＱ＝[latex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/latex]ｃｍ
したがって、ＡＲ＝[latex]\frac{\sqrt{2}}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}[/latex]ｃｍ
次に、ＡＦとＧＳは、ともにＡＰと垂直に交わる線分なので平行。
∠ＦＡＧ＝∠ＦＡＣ＋∠ＣＡＤ＋∠ＤＡＧ＝３０°＋４５°＋３０°＝１０５°
∠ＰＡＧ＝∠ＦＡＧ－∠ＦＡＰ＝１０５°－９０°＝１５°
∠ＡＧＴ＝１８０°－（∠ＡＴＧ＋∠ＴＡＧ）＝１８０°－（９０°＋１５°）＝７５°
∠ＡＧＱ＝４５°だから、∠ＱＧＳ＝∠ＡＧＳ－∠ＡＧＱ＝７５°－４５°＝３０°
∠ＧＱＳ＝１８０°－（∠ＱＳＧ＋∠ＱＧＳ）＝１８０°－（９０°＋３０°）＝６０°
そして、ＡＱ＝ＧＱだから、△ＡＱＲと△ＧＱＳは合同。したがって、ＲＱ＝ＱＳ
また、四角形ＲＱＳＴは、すべての角が直角だから、正方形。したがって、ＲＴ＝ＲＱ
ゆえに、ＲＴ＝ＲＱ＝ＡＱ／２＝[latex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/latex]／２＝[latex]\frac{\sqrt{2}}{4}[/latex]ｃｍ
したがって、ＡＴ＝ＡＲ＋ＲＴ＝[latex]\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}[/latex]ｃｍ
したがって、△ＡＧＦ＝ＡＦ・ＡＴ／２＝[latex]\sqrt{3}[/latex] * [latex]\quicklatex{size=20}\frac{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{2}=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{8}[/latex]ｃｍ２
（藤島コメント：ＡＴ＝ＡＧ・ｃｏｓ１５°なのはすぐわかるので、三角関数が使えれば簡単に解けますが、ピタゴラスの定理だけで解こうとすると大変ですね。ちなみに、この解き方は、残念ながら、僕（藤島）が考えたものではありません。「cos15°」をググって見つけた、灘高校の数学の先生の考え方を拝借したのものです。いやー、すごいですね。感服です。それにしても、こんな問題を高校入試に出す愛知県って、何考えてるんでしょうね）
（サンパウロ坂本さんの解法）
上図の、三角定規を２枚貼り合わせた三角形の面積が [latex]\quicklatex{size=20}\frac{1+\sqrt{3}}{2}[/latex] であることを利用する。
これは、２辺の長さが[latex]\sqrt{2}[/latex]cmと2cmで、それを挟む角度が105°である三角形の面積が [latex]\quicklatex{size=20}\frac{1+\sqrt{3}}{2}[/latex] であることを意味している。
さて、求めようとする、△AFGは、2辺がそれぞれ[latex]\sqrt{3}[/latex]cmと1cmで、それを挟む角度が105°の三角形である。
したがって、△AFGの面積を求めるためには、上図の三角形の1辺を[latex]\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}[/latex]倍、他の1辺を[latex]\frac{1}{2}[/latex]倍してやればよい。
すなわち、
△AFG = [latex]\quicklatex{size=20}\frac{1+\sqrt{3}}{2}*\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}*\frac{1}{2}=\frac{3+\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{8}[/latex]
（藤島コメント：鮮やか。恐れ入りました）
まず高校数学で解く。ＡＦ＝√３
ＡＦを底辺と見なすと高さはＡＧ×sin75＝sin75
ここで加法定理を使い
sin75＝sin45×cos30＋sin30×cos45
＝(√６＋√２）／４
故に、答えは（３√２＋√６）／８
中学生の解き方は、この加法定理(45＋30)の証明を
させれば良いのです。
直角二等辺三角形の１：１：√２及び
３０度６０度の直角三角形２：１：√３は当然
使えるものとするなら簡単にできます。
ＡＢ＝１を斜辺とし＜Ｂ＝７５度の直角三角形ＡＢＣを
書きます。ＡＢを斜辺とする直角二等辺三角形ＡＢＤ
をＣのある側に書きます。
ＤからＢＣの延長線上に下ろした垂線の足をＥ、
またＡＣＥＦが長方形になるようにＦを取ります。
＜ＡＢＤ＝４５度、 ＜ＤＢＥ＝＜ＡＤＦ＝３０度
ＡＤ＝ＢＤ＝√２／２
ＤＥ＝ＢＤ×１／２＝√２／４
ＦＤ＝ＡＤ×√３／２＝√６／４
ＡＣ＝ＥＦ＝(√２＋√６）／４
これで高さが求まりましたので、三角形の面積
＝底辺×高さ／２で求まります。
ちょっと思考パターンを逆にしましたが、
恐らくどの解法もこの３０度と４５度の直角三角形
を利用するものと思われます。
こちらの方は、やっぱり同じ解き方ですね。
加法定理を証明すると言うちょっとずるい考え方を
しましたが、そこはご勘弁を。
そんな難しい方法しなくても解けますよ。
解き方の概要
３０度と４５度と１０５度の三角形を作ると、辺の長さの比は、２：√２：(√３＋１)になります。
この三角形の比をそのまま長さとして面積を求めて、
この問題のＡＦの長さの√３にあうように拡大し、相似比を使って面積を求めます。
このままだと、ＡＧの長さが１ｃｍにならないので、伸ばした分だけ面積も同じ割合で大きくすれば解けます。
補助線はいりませんし、難しい三角比も必要ありません。
１０５度、３０度、４５度の三角形の面積を求める問題の応用ですね。
中学生らしい問題でしょう。
ちなみに、愛知県の入試は、毎年難しいです。
(私も愛知県出身です)
７．５の倍数の角度でできている三角形について、長さの比を全部求めておくといいかも。