上図で、△ＡＢＣと△ＡＤＥはともに正三角形で、Ｆ、Ｇはそれぞれ辺ＢＣ、ＥＤの中点である。
ＡＢ＝２ｃｍ、ＡＧ＝１ｃｍ、∠ＤＡＣ＝４５°のとき、△ＡＦＧの面積は何ｃｍ2か。
（この問題を提供してくださった桃燈さんのコメント）
愛知県公立高校入試の問題です。
中学生の指導要領の範囲内で解けるのですが、補助線を用いて
中学生がやるようにパズル感覚で解こうとするとものすごく難
しいです。
私は一ヶ月以上解けませんでした（高校レベルの数学を用いて
答えだけは出せていましたが）。
どういう補助線で解けるのか、読者投稿と言うより本編で出し
て頂いたら皆さんの目に触れていろいろな意見が聞けそうです
が、まぁ、それは単なる私の欲で（笑
こんな難問なパズルを出してくる高校入試、しかも公立高校の
入試。半端無いです（爆
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まず高校数学で解く。ＡＦ＝√３
ＡＦを底辺と見なすと高さはＡＧ×sin75＝sin75
ここで加法定理を使い
sin75＝sin45×cos30＋sin30×cos45
＝(√６＋√２）／４
故に、答えは（３√２＋√６）／８
中学生の解き方は、この加法定理(45＋30)の証明を
させれば良いのです。
直角二等辺三角形の１：１：√２及び
３０度６０度の直角三角形２：１：√３は当然
使えるものとするなら簡単にできます。
ＡＢ＝１を斜辺とし＜Ｂ＝７５度の直角三角形ＡＢＣを
書きます。ＡＢを斜辺とする直角二等辺三角形ＡＢＤ
をＣのある側に書きます。
ＤからＢＣの延長線上に下ろした垂線の足をＥ、
またＡＣＥＦが長方形になるようにＦを取ります。
＜ＡＢＤ＝４５度、 ＜ＤＢＥ＝＜ＡＤＦ＝３０度
ＡＤ＝ＢＤ＝√２／２
ＤＥ＝ＢＤ×１／２＝√２／４
ＦＤ＝ＡＤ×√３／２＝√６／４
ＡＣ＝ＥＦ＝(√２＋√６）／４
これで高さが求まりましたので、三角形の面積
＝底辺×高さ／２で求まります。
ちょっと思考パターンを逆にしましたが、
恐らくどの解法もこの３０度と４５度の直角三角形
を利用するものと思われます。
こちらの方は、やっぱり同じ解き方ですね。
加法定理を証明すると言うちょっとずるい考え方を
しましたが、そこはご勘弁を。
そんな難しい方法しなくても解けますよ。
解き方の概要
３０度と４５度と１０５度の三角形を作ると、辺の長さの比は、２：√２：(√３＋１)になります。
この三角形の比をそのまま長さとして面積を求めて、
この問題のＡＦの長さの√３にあうように拡大し、相似比を使って面積を求めます。
このままだと、ＡＧの長さが１ｃｍにならないので、伸ばした分だけ面積も同じ割合で大きくすれば解けます。
補助線はいりませんし、難しい三角比も必要ありません。
１０５度、３０度、４５度の三角形の面積を求める問題の応用ですね。
中学生らしい問題でしょう。
ちなみに、愛知県の入試は、毎年難しいです。
(私も愛知県出身です)
７．５の倍数の角度でできている三角形について、長さの比を全部求めておくといいかも。