（解答）
20581
（解き方）
１１で割り切れる、というのが大きなヒントです。１１で割り切れる数には、（万の位の数字）＋（百の位の数字）＋（一の位の数字）－（千の位の数字）－（十の位の数字）が１１で割り切れる、という性質があります。今回は各位の数字の合計が１６なので、万の位＋百の位＋一の位－千の位－十の位は０にならないといけません。ですから、万の位＋百の位＋一の位は８、千の位＋十の位も８になります。
また、１少ない数が１から７までのどの数字でも割り切れるので、求める数字の一の位は１しかありえず、万の位＋百の位は７となります。
さらに、各位で同じ数字が使われていないことを考慮に入れると候補はかなり少なく、20581、28501、50281、58201、30481、38401、40381、48301、32461、36421、42361、46321、72061、73051、75031、76021の１６個にまで絞れます。これらの中で、他の一桁の数（具体的に言うと７）で割り切れず、１引いた数が１から７までのどの数字でも割り切れるのは、20581、48301、76021の３つです。 自乗して１から７までの数字でできた数になるのは、20581（423577561になる）だけです。
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（hal-9000による補足）
この１１の倍数の性質、役に立ちますね。
まず、「・・・は０にならないといけません」という部分です。
１１で割り切れる数であるためには、０以外なら、１１、－１１、２２、－２２などがあります。しかしながら、これを１１以上（あるいは－１１以下）にすることはできません。
なぜなら、（万）＋（百）＋（一）の合計の絶対値が小さい場合を先に考えると、この３つの数の合計は最低でも３（２、０、１の時）です。このとき、（千）＋（十）との差を１１以上にするためには、（千）＋（十）の合計を１４以上にする必要があり、５つの数の合計が１６を超えてしまいます。
一方、（千）＋（十）は、最低だと２です（説明の順番が入れ繰りますが、１は一の位で使われますので、２と０の時です）。すると、差が１１や２２などであるためには、（万）＋（百）＋（一）の合計は１３や２４などであり、５つの数の合計が１６になりません。また、（千）＋（十）が３だと、１６を超えてしまいます。
因みに、一の位が１であることに気付いておらず、（千）＋（十）の合計が最低で１だと考えても、あまり違いはありません。
次に、「候補はかなり少なく、20581、・・・、76021の１６個にまで絞れます」の部分です。
（万）＋（百）の合計が７になるのは、１は一の位で既出ですので（１と６）は使えず、（２と５）、（３と４）、（７と０）のいずれかです。（千）＋（十）については、合計が８になります。
もし（２と５）だとすると、（千）＋（十）が合計８になるためには、（８と０）しかありません。
もし（３と４）だと、（千と十）は、（８と０）、（６と２）です。
もし（７と０）だと、（千と十）は、（６と２）、（５と３）です。
（万、百）が（２と５）、（千と十）が（８と０）の場合、作れる数字は、20581、28501、50281、58201の４通りです。
（万、百）が（３と４）の場合、同様にして８通りあります。
（万、百）が（７と０）の場合には、万の位は０にできませんので、４通りです。
以上、１６通りの数字を作り得ることがわかりました。
最後に「これらの中で、・・・の３つ」の部分です。
これらの数字は、１を引くと、一の位が０になりますので、２と５で割り切れることは自明です（だからこそ一の位を１にしたのですけど）。また、１を引くと、各位の数字の合計は１５であり、すべて３の倍数です。６の倍数でもあります。
１を引いた数字が４の倍数であるためには、十の位が偶数であることが必要で、排除される数字が少しだけあります。排除されるのは、（万、百）が（７と０）、（千と十）が（５と３）の場合です。これを、（千と十）が合わせて８になる組合せを考える段階で「奇数は駄目よ」と排除しておけば、候補を１６通りではなく１４通りに絞ることができたのですが、効果としては小さいかも？。
あとは、片っ端から、１を引いて７で割ってみるのみです。
なお、Clockwise が「１以外の一桁の数では割り切れません」という点の検証が話題に出てきませんが、結果的にそうなっています。
１を引いた数が２～７で割り切れるのですから、１を引く前の数は、２～７では割り切れません（割ると１余ります）。
８、９については、１を引いた数が８、９で割り切れるかどうかはわかっていませんが、２と３では割り切れていますので、やはり、１を引く前の数が、２や３の倍数である８、９で割り切れることはありません。
５桁の数をＸ＝ＡＢＣＤＥとすると和が１６より
１、２、３、４、６
１１の倍数よりＡ，Ｃ，Ｅは１，３，４、Ｂ，Ｄは２，６
Ｘ－１が４２０の倍数よりＥ＝１
とここまで書いて０が入ってもいいことに気づいて・・・。
というか０が入らないとできない（可能性のある４個は
全て×）。
Ｅ＝１だから０と１で残りは１５
１）Ｃ＝０の場合Ａ＝７、（Ｂ，Ｄ）は（２，６）
または（３，５）
可能性の４個は×
２）（Ｂ，Ｄ）が（０，８）の場合
（Ａ，Ｃ）は（２，５）（３，４）
この８通りを検証
２０５８１の時のみ題意を満たす。
すっかりグレてしまったので、今日は図形はやめてhal-9000さんの問題を解くことにしました。
答は２０５８１です。
１の位は５の倍数でほかの数も割り切れる０に+１で１と推定。
１～７の最小公約数と思われる（自信ない）４２０に万の位が＞２になる数、＞４８をかけていきました。
（意外と早く出た。）
唯一解かどうかは、私の及ぶところではありません。
Clockwise は ２０５８１。
Clockwise は５桁の数字で、各位の数字を全て足すと 16なので、
使われる数字の組は、０１２４９、０１２５８、０１２６７、
０１３４８、０１３５７、０１４５６、０２３４７、０２３５６、
１２３４６の９組のみ。
Clockwise より１小さい数は１～７のどの数でも割り切れるので、
当然２と５の倍数となり、１の位は０。
よって、Clockwise の１の位は１であり、１の含まれない
０２３４７と０２３５６の組は不適。
Clockwise は 11で割り切れるので、一・百・万の位の数の和と
十・千の位の数の和の差が 11の倍数。
ところで全ての和は 16なので、差は０でなくてはならない。
すなわちどちらの和も８。
よって、９の含まれる０１２４９の組、６が含まれていて２数
あるいは３数の和で８を作れない０１４５６の組は不適。
Clockwise より１小さい数は４でも割り切れるので、十の位は偶数。
よって、上で十・千の位の数に分類されるものに奇数しか含まれない
０１３５７は不適。
以上より、残る組は
０１２５８（十・千の位の数の組は０と８）
０１２６７（十・千の位の数の組は２と６）
０１３４８（十・千の位の数の組は０と８）
１２３４６（十・千の位の数の組は２と６）
の４組。
これらから、これまでに上で検討してきた条件にあう数を作ると、
２×２×４＝１６個の数値ができる。
そのうち、０２７６１、２８５０１、３０４８１、３２４６１、
３６４２１、３８４０１、４０３８１、４２３６１、４６３２１、
５０２８１、５８２０１は Clockwiseより１小さい数にあたるものが
７で割り切れないので不適。
残る５数を２乗すると、
０６７２１×０６７２１＝４５１７１８４１
２０５８１×２０５８１＝４２３５７７５６１
４８３０１×４８３０１＝２３３２９８６６０１
７２０６１×７２０６１＝５１９２７８７７２１
７６０２１×７６０２１＝５７７９１９２４４１
となり、７以下の数で構成されるのは２０５８１のみ。
＃ ５桁の数とあるので、一万の位の数が０というのは、
＃ もっと早い段階で除いても良いのかも…
20581
８と８まで絞ったら、あとはエクセルにやらせちゃいました。