上のように、すべて異なる３つの数から成る３桁の整数であって、元の数を、各位の数の和を２乗したもので割ったときに、ちょうど割り切れるものを、すべて挙げてください。
ページ: 1 2
自分を自分の自乗で割る
[latex]\quicklatex{size=25}\frac{162}{(1+6+2)^{2}}=2[/latex]
512,162,243,324,405,810,605,392,648,972
○正解！
（藤島コメント：はい、もちろん１等賞。しかし、２分台っていうことは、この問題も知識のストックにあったんですか？驚き）
２４３÷（２＋４＋３）^２＝３
３２４÷（３＋２＋４）^２＝４
４０５÷（４＋０＋５）^２＝５
８１０÷（８＋０＋１）^２＝１０
６４８÷（６＋４＋８）^２＝２
９７２÷（９＋７＋２）^２＝３
×残念！不正解
（藤島コメント：がんばっていただきましたが、結構足りませんでした）
（１６２）
２４３
３２４
４０５
×残念！不正解
（藤島コメント：まだまだありますよ）
162,243,324,392,405,512,605,648,810,972
○正解！
（藤島コメント：はい、オッケーです。２等賞）
(162)
243
324
405
すいません。名前Ｍｉっていうヘンなの送っちゃいました。Ｍｉｓａです。
発見？しちゃった！
９の二乗だけがこうなるんだ。
割った数が５以上だと１８になる。
…あれ？三乗でも１８になるのかな。
（藤島コメント：実は、ほかにもいろいろたっぷりとあるんですよね）
２４３÷（２＋４＋３）^２＝３
３２４÷（３＋２＋４）^２＝４
４０５÷（４＋０＋５）^２＝５
８１０÷（８＋０＋１）^２＝１０
６４８÷（６＋４＋８）^２＝２
９７２÷（９＋７＋２）^２＝３
５１２÷（５＋１＋２）^２＝８
６０５÷（６＋０＋５）^２＝５
×残念！不正解
（藤島コメント：惜しかった。まだ１つ足りませんでした）
ちょっとずるしてエクセルで全通り計算させました。
数式のコピーに時間がかかりましたが、式自体は楽でした。
入力の遅さが致命的なるも難易度投票は１番だったので
強気に１位予想と行きます。
（藤島コメント：サンパウロ坂本さんが参戦されていたんでは、しかたありませんね）
予想順位は3位で。
（藤島コメント：答えが合っていれば、順位もこれで良かったんですが…）
予想、５位
（に入ってるといいなと思う…。
…学問題で、そんな僭越なこと無理だって。(;^_^A
当たってればそれだけでオメデタイです。）
（藤島コメント：残念ながら…）
162,243,324,392,405,512,605,810,972
力業になりました。
7位
×残念！不正解
（藤島コメント：惜しい。１個足りませんでした）
２４３÷（２＋４＋３）^２＝３
３２４÷（３＋２＋４）^２＝４
４０５÷（４＋０＋５）^２＝５
８１０÷（８＋０＋１）^２＝１０
６４８÷（６＋４＋８）^２＝２
９７２÷（９＋７＋２）^２＝３
５１２÷（５＋１＋２）^２＝８
６０５÷（６＋０＋５）^２＝５
３９２÷（３＋９＋２）^２＝２
○正解！
（藤島コメント：はい、これで１６２を除く全部が見つかりました。３等賞です）
予想順位は7位で。
（藤島コメント：いえいえ、まだ３位なんですよ。最初の予想のままで良かったんですよね）
５１２ ２４３ ４０５ ８１０ ６０５ ３９２ ９７２
×残念！不正解
（藤島コメント：まだまだありますよ）
予想６位
考えるよりエクセルで解いたほうが早いと力業で行きましたが、今考えると論理的に解いても難しくないですね。
（１００Ａ＋１０Ｂ＋Ｃ）＝Ｋ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）
＝（Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋９９Ａ＋９Ｂ）
９（１１Ａ＋Ｂ）＝（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）｛Ｋ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）－１｝
（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）または｛Ｋ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）－１｝は９の倍数
（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）は、２４（＝９＋８＋７）以下だから
（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）が９の倍数なら９ｏｒ１８
８１の倍数を調べると
１６２，２４３，３２４，４０５、６４８，８１０，９７２が適する
｛Ｋ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）－１｝は９の倍数なら
Ｋ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）＝９Ｍ＋１、故にＫは３の倍数でない
Ｋ＝１の時（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）は１０または１９、
１００の倍数は明らかに不適３６１の倍数も不適
Ｋ＝２の時（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）は５、２５の倍数で題意を満たすものなし
Ｋ＝４の時（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）は７または１６
４９、２５６の倍数を調べると、３９２、５１２が適する
Ｋ＝５の時（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）は１１、 １２１の倍数で６０５が適する
Ｋ＝７の時（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）は４、 １０３、３０１は何れも不適
Ｋ＝８の時（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）は８、 ６４の倍数は５１２が適する
以上
（藤島コメント：ありがとうございました。これを参考に、解答を補足させていただきました）
162、243、324、392、405、512、605、648、810、972
○正解！
（藤島コメント：ほぉ、やりますね。大正解です。４等賞）
162、243、324、392、405、512、605、648、810、972
9の二乗、１８の二乗はすぐみつかりましたが。難問。7位くらい？
○正解！
（藤島コメント：はい、こちらも正解。５等賞）
【掲示板】とのさんへ
ＷＥＢ検索
藪漕ぎ ８１０００件
藪こぎ ３１００件
藪ごき ３件
って藪からゴキブリと思っている人もいるわけだ。
３２４が抜けてました。
改めて、、５１２ １６２ ２４３ ３２４ ４０５ ８１０ ６０５ ３９２ ９７２
×残念！不正解
（藤島コメント：まだ１つ足りませんでした。残念）
648が抜けてました。orz
162,243,324,392,405,512,605,648,810,972
○正解！
（藤島コメント：はい、これで正解です。でも、惜しくも６位でした）
10位でお願いします。
162
243
324
405
512
605
648
810
972
×残念！不正解
（藤島コメント：これも、１個足りませんでした。惜しい）
162, 243, 324, 392, 405, 512, 605, 648, 810, 972
本当にこれだけかしら？？ 正解なら７位かな。
○正解！
（藤島コメント：はい、正解。順位も当たりです。やりますねー）
予想は１位でお願いします。
チョビット解説します。
すべて異なる３つの数から成る３桁の整数の場合、各位の和が最小のものは３（２，１，０）で、最大のものは２４（７，８，９）になる。
したがって、求める答えは、３の２乗から９の２乗の数の倍数ということになる。
そのうち、３桁であって、なおかつ、各位の数字の和が２乗する前の数字になるものが答えになる。
各位の和が３の場合、その平方数は９。
９の倍数のうち、３桁のものは、
108,117,126,135,144,153,162,171,180,189,198,207,216,225,234,243,252,261,270,279,288,297,306･･･
このうち、各位の数字の和が３になっているものはない。
これ以降も和が３になるものはない。(３より常に大きくなってしまう)
各位の和が４の場合、その平方数は１６。
１６の倍数のうち、３桁のものは、
112,128,144,160,176,192,208,224,240,256,272,288,304,320,336,352,368,384,400･･･
このうち、各位の数字の和が４になっているものは、１１２と４００だが、これは各位の数字がすべて異なってはいない。
ここまでに該当がなく、これ以降も和が４になるものはない。
各位の和が５の場合、各位の和が６の場合、各位の和が７の場合にも、該当はなし。
各位の和が８の場合、その平方数は６４。
６４の倍数のうち、３桁のものは、
128,192,256,320,384,448,512,576,640,704,768,832･･･
このうち、各位の数字の和が８になっているものは、５１２。
これは条件に合う。
これ以降は和が８になるものはない。
以下順に、各位の和が２４までやってみると、
答えは、512,162,243,324,405,810,605,392,648,972の１０個になる。
解くための表は、エクセルで作ってみましたので、こちらをご覧ください。
http://church.ne.jp/gospelhouse/jijo.xls
（藤島コメント：しかし、これだけのことが、２分でできたの？）
１６２ ２４３ ３２４ ３９２ ４０５ ５１２ ６０５ ６４８ ８１０ ９７２
以上１０個
１０位でお願いします。
○正解！
Ａ：１３５、１５３、（１６２）、２４３、３１５、３４２、３５１、３９２、４０５、５１２、５１３、５３１、６０５、６４８、８１０
うーん、文字数式で解けるのかなぁ・・・と思い、
（１００ａ＋１０ｂ＋ｃ）／（ａ＋ｂ＋ｃ）＾２
＝（１００ａ＋１０ｂ＋ｃ）／｛（ａ＋ｂ）＋ｃ｝＾２
＝（１００ａ＋１０ｂ＋ｃ）／（ａ＋ｂ）＾２＋２（ａ＋ｂ）ｃ＋ｃ＾２
＝（１００ａ＋１０ｂ＋ｃ）／ａ＾２＋ｂ＾２＋ｃ＾２＋２ａｂ＋２ｂｃ＋２ｃａ
・・・ああ、とっても懐かしい（遠い目）と考えたところで挫折。
結局、組み合わせが限られているので（それでも多いけど・・・）
除数をエクセルで導き出してしらみつぶしに・・・
と考えているうち、除数の範囲が限られているので、その倍数を調べることにしました。
３～２４のそれぞれの２乗で、３桁の倍数を検討・・・数えお年はない、と思う。
たぶんスマートな解き方はあるんでしょうけど。
・・・個人的にミステリーハウスよりハードでした・・・疲れた。
×残念！不正解
（藤島コメント：ちょっと多すぎました。たとえば「１５３」が「６４」で割り切れないなんてことは、すぐにわかったはずだけど、何か勘違いしちゃったかな？また、「ミステリーハウス」の解説、ありがとうございました。ここだと場所がわかりにくいので、オリジナルの問題のところにコメントを移し替えさせていただきました）
順位は１１位でお願いします。
[解答]
162 / ( 1 + 6+ 2 ) ^ 2 = 2
以外では
810 / ( 8 + 1 ) ^ 2 = 10
405 / ( 4 + 5 ) ^ 2 = 5
605 / ( 6 + 5 ) ^ 2 = 5
512 / ( 5 + 1 + 2 ) ^ 2 = 8
243 / ( 2+ 4 + 3 ) ^ 2 = 3
324 / ( 3 + 2 + 4 ) ^ 2 = 4
392 / ( 3 + 9 + 2 ) ^ 2 =2
972 / ( 9 + 7 + 2 ) ^ 2 = 3
648 / ( 6+ 4 + 8 ) ^ 2 = 2
[予想順位] 13位
最初
(100x + 10 y + z ) / (x + y + z)^2
として解こうとしましたけど、挫折しました。
その後は、ひたすら計算です。
３桁の数、全て検証しました。
これが３桁だったからいいようなものの、４桁になったら完全アウトです。
何か法則が無いかな？
○正解！
（藤島コメント：「４桁」をやっちゃった人がいましたよ（笑）。順位は９位でした）
162,243,324,392,405,512,605,648,810,972
○正解！
162,243,324,392,405
512,605,648,810,972
予想順位は19位で・・・。
○正解！
（藤島コメント：まだ１１位でしたね）
１６２、２４３、３２４、３９２、４０５、５１２、６０５、６４８、８１０、９７２
１６２÷（１＋６＋２）＾２＝２
２４３÷（２＋４＋３）＾２＝３
３２４÷（３＋２＋４）＾２＝４
３９２÷（３＋９＋２）＾２＝２
４０５÷（４＋０＋５）＾２＝５
５１２÷（５＋１＋２）＾２＝８
６０５÷（６＋０＋５）＾２＝５
６４８÷（６＋４＋８）＾２＝２
８１０÷（８＋１＋０）＾２＝１０
９７２÷（９＋７＋２）＾２＝３
解析的には、なかなか進められない…
３桁の整数をＡＢＣとした時、Ａ＋Ｂ＋Ｃで分類するのが良いのかな？
３≦Ａ＋Ｂ＋Ｃ≦２４なので、２１通り。以下略。
１桁の整数だと、１のみ。
２桁の整数だと、１０、２０、５０、８１の４個。
３桁の整数は、上の１０個。
４桁の整数だと、１０５３、１２９６、１６２０、２１０６、２１５６、２４０１、
２４３０、２７０４、２９１６、３２４０、３４０２、３５６４、３９２０、
４５３６、４８６０、４９１３、５１０３、５１２０、５１８４、５６３２、
５８１９、５８３２、６４８０、６８０４、７１２８、７４５２、７５１４、
９０７２、９７２０の２９個。
５桁の整数だと、１０３６８、１０６９２、１２７４０、１２９６０、１３２８４、
１３６０８、１４２５６、１４５８０、１４８９６、１６５２４、１７４９６、
１７８２０、１８０３２、１８９５４、１９３７５、１９６８３、２０５１９、
２０７３６、２１３８４、２１５６０、２１７０８、２１７６０、２４７８６、
２４８６３、２５１６８、２６９７３、２７５４０、２９１６０、３０４５６、
３１４２８、３１７５２、３２０７６、３２８５１、３５６４０、３６１２５、
３７２６０、３７９０８、３９１４６、３９２０４、４０１７６、４０１９２、
４１３２７、４１８７５、４３０９２、４３９０７、４５０３６、４５１９８、
４５３６０、４５９２７、４７３８５、４９１３０、４９５７２、５１８４０、
５２１６４、５３４２９、５３４６０、５３９４６、５４０１６、５４１０８、
５６３２０、５７０２４、５８１９０、５８３２０、６０９１２、６２１３５、
６２９５１、６３１８０、６３５０４、６４１５２、６４３７２、６４３７５、
６５１２４、６５３４１、６９０１２、７０６３２、７１２８０、７１６０４、
７３０８４、７３６２９、７４３５８、７４５２０、７５１４０、７５８１６、
７６１４０、７８４１６、７９４６１、８０３４２、８０３５２、８１３２４、
８５２９３、８６１５２、８６７５１、８６９７５、９０５８４、９１８５４、
９２０１６、９２３４０、９２５８３、９８１２５、９８４１５の１００個。
６桁の整数だと、、、、
これ以上は止めましょう (^_^;;;
１０桁までしかないはずだから、有限数なのは確かなのですが…
○正解！
（藤島コメント：「解析的に進められない」とか言いながら、よくここまでやりましたね。プログラムを組んだんですか？）
どう考えたらいいのか悩みました。
結局、異なる３つの数の合計値の範囲 ３（＝０＋１＋２）～２４（＝９＋８＋７） の２乗の値の倍数をリストアップするという方法をとりました。
結果： 下記の１０個です。
648 972
392 605
162 243
324 405
810 512
順位は１２位ぐらいでしょうか。
よろしくお願い致します。
○正解！
（藤島コメント：ほんとに惜しい１３位でした）
１４×１４×２＝３９２
３＋９＋２＝１４…〇
１８×１８×２＝６４８
６＋４＋８＝１８…〇
答え：３９２、６４８
×残念！不正解
（藤島コメント：これはこれで合っているのですが、ほかにもまだまだあるんですよ）
後から、検討に抜け（Ｓ，Ｋがより大きな値）があるのに気づきましたが、正解は網羅していたため面倒くさくてそのままにしてしまいました。
藤島さん、補足ありがとうございます。
しかし、藤島さんもエクセルで問題を作っていたとは・・・。
＞Ｋ＝４の時 Ｓ≦１５。Ｓ＝７ｏｒ１６
Ｓ＝１６は不要のような気が。
しかし、どうやったら２分で解けるのだろう。
エクセル入力を２分足らずで行ったということ？
私はその１０倍かかりました。
（藤島コメント：まあ、たまには「エクセル用問題」もいいかな、と思ったのです。また、解答へのご指摘ありがとうございました。修正しておきました）
先週は一週間分の数学脳（？あるのか？）を使い果たしてましたから…。顔を洗って出直します。
（藤島コメント：はい、お疲れ様。まあ、チャレンジすることに意義があるのですから。チャレンジを続けるMisaさんは、確実にかしこくなっていますから、それでよろしいでしょう）
私が早かった理由は、仕事のためです。
今回の問題は、解いたことはなかったですけれど、素数の表(エクセル)を持っていたのですぐでした。
暗算が苦手なので、きちんと表にしているのです。
因数分解の問題や、約数の個数の問題などで、素数の倍数はよく使います。
あと、２桁の素数同士の積も、因数分解が厄介でよく使いますよ。
生徒が困る問題を宿題に出したくなる、意地悪な数学講師(兼業)なのです。
だから、論理パズルは遅いです。
（藤島コメント：でも、図形問題や国語問題なんかも早いですから、やっぱりすごいですね）
はい、プログラムというか、簡単なスクリプトですが。(だから時間がかかった…)
でも、４桁までは手計算ですよ。
で、その後、全部解答が求まりました。
６桁は３６１個、７桁は９５８個、８桁は２０５３個、９桁が４８２０個、
１０桁が１２３７８個、合計２０７１４個でした。
ちなみに、最大の数は、
９８７６４３１２５０÷（９＋８＋７＋６＋４＋３＋１＋２＋５＋０）＾２＝４８７７２５０
です。
で、「エクセル用問題」なら許容範囲内ですが、
「エクセル専用問題」は止めてください。
エクセル持ってない人も、ここにいるので (^_^;;;
（藤島コメント：「専用問題」ってのは、ちょっと作れないと思います。ちなみに、エクセルがなくても、フリーソフトの OpenOffice Calc なら Linux 版もありますよ。僕もエクセルは持っていなくて、僕が自宅で使っているのはそっちです）
OpenOffice はいいのですけど、私の PC には、
HDの容量不足でインストールできないのです (^_^;;;
無理したら押し込めないこともないのですが、
おそらく、重すぎて使い物にならないし…
（藤島コメント：ははは、そうですか。ＨＤは換装できるとしても、「重すぎて」ということはＣＰＵも弱いわけですね。じゃ、しょうがないか(^_^;））