8,101,265,822,784 ÷ 8 ＝ 1,012,658,227,848
上の式は、最初に８で始まる１３桁の整数が、８で割られることによって、先頭にあった８が最後に来て、しかも、それに押し出されるように、すべて１つずつ前の桁にずれ、その並ぶ順番は全く変わらない商になるという、おもしろい性質を持っています。
８１０１２６５８２２７８４ ÷ ８ │ ＝│１０１２６５８２２７８４８ │ ↑ └────────────┘
それでは、同様に、７で始まる複数桁の整数で、７で割られることにより、先頭の７が最後に来て、他の桁の数字がそれぞれ１つずつ前に来る商となるもののうち、最小の桁数のものを、見つけてください。
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7101449275362318840579÷7＝1014492753623188405797
（追加 2007/10/08 07:24:09 ）
予想は１位でお願いします。
割り算の筆算の形で解く問題ですね。
から、
の形ではじめて、最終的には、
になりますね。
たてる数(商)が７になって、かつ、あまりが０になるところが答えです。
ちなみに、他の数もやってみました。
２の場合
210526315789473684÷2＝105263157894736842
３の場合
3103448275862068965517241379÷3＝1034482758620689655172413793
４の場合
410256÷4＝102564
５の場合
510204081632653061224489795918367346938775÷5＝102040816326530612244897959183673469387755
６の場合
6101694915254237288135593220338983050847457627118644067796÷6＝1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966
７の場合(今回の答え)
7101449275362318840579÷7＝1014492753623188405797
８の場合(今回の例題)
8101265822784÷8＝1012658227848
９の場合
91011235955056179775280898876404494382022471÷9＝10112359550561797752808988764044943820224719
たぶん、これであってると思います。
６の場合が問題だったら、ちょっと骨が折れますね。
○正解！
（藤島コメント：圧倒的な早さでの正解、説明、追加説明。非の打ち所がありませんね）
７１０１４４９２７５３
×残念！不正解
71014492753
×残念！不正解
7101449275362318840579
○正解！
（藤島コメント：はい、２等賞。「普通の人」でのトップでしたね。おみごと）
かつてパズルの本で見た桁数が最小なのか…？
いくら何でも桁がふくれあがりすぎた気がする…
（藤島コメント：いえいえ、論理が正しければ、結論は意外でもそれでいいんですよ）
７１０１４４９２７５３６２３１８８４０５７９
○正解！
（藤島コメント：はい、これで正解。３等賞）
７１０１４４９２７５３６２３１８８４０５７９
○正解！
（藤島コメント：はい、正解です。４等賞）
方程式立てるまでは簡単でしたが・・・・。
（７×１０＾ｎ＋Ａ）／７＝１０Ａ＋７より
６９Ａ＋４９＝７×１０＾ｎ
で、エクセルで解かしたら、１０桁で勝手に末尾を０にしているではないか。
エクセルを諦め、只管パソコン電卓を叩きまくり。
まさか２２桁の数になるとは・・・。
予想順位は２位でお願いいたします。
（藤島コメント：電卓で解けましたか。かえってちょっと意外。順位は３位でした）
予想順位は3位で。
（藤島コメント：惜しい、４位でした）
7,101,449,275,362,318,840,579
電卓で計算できない桁数を見ただけでギブアプです。
何も方法を思いつかず、答えは検索欠席届のため検索しました。
○正解！
（藤島コメント：正直ですね。でも５位入賞ですよ）
今、考えると次の数字が一意的に決まっていくから地道に
解いても解けますね。
先頭は７だから７÷７で１余り０
１÷７で０余り１
１０÷７で１余り３
３１÷７で４余り３
３４÷７で４余り６
６４÷７で９余り１
・・・・・・・・・・
これを９余り０になるまで繰り返す。
桁数の多さに不安になりながら電卓叩くよりも
この方が早かったかな。
（藤島コメント：そう、そっちが、想定した解き方です）
７１０１４４９２７５３６２３１８８４０５７９
○正解！
（藤島コメント：おお、できてるじゃん。やるね）
かなりてこずった…
予想７位で
○正解！
（藤島コメント：はい、順位も含めて大正解）
７１０１４４９２７５３６２３１８８４０５７９÷７
＝１０１４４９２７５３６２３１８８４０５７９７
予想６位
○正解！
（藤島コメント：８位でした）
○正解！
７，１０１，４４９，２７５，３６２，３１８，８４０，５７９ ÷ ７ ＝
１，０１４，４９２，７５３，６２３，１８８，４０５，７９７
長い‥‥当たっているかな？
休日だからあまり参加者がいないのかな。８位で。
○正解！
（藤島コメント：はい、ちゃんと合ってましたよ。順位は１０位でした）
7,101,449,275,362,318,840,579
○正解！
7,101,449,275,362,318,840,579
遅いので20位くらいだと思います。
○正解！
（藤島コメント：いえ、休日は参加者が少ないんですよ。１２位でした）
○正解！
（藤島コメント：「商だけ」っていうのはちょっと手抜きだけど、まあＯＫとしました）
まず、一言申し上げます。
こーゆー問題を（特に休日の日に！）出すときは、前もって“コンピューターもしくは宇宙人向け”とレベル明記してくださいっ！（せっかくのお休みに、ＰＣ立ち上げて朝からムナシイ気分になるだけだから…。）
何をどうしていいのやら皆目判らず。
ふてくされて二度寝するにも、寝つきが悪いのでムキになってみましたが。
当たってたら、それだけでめっけ物。でも一応言っとこ。予想４位。
（どう考えたのかは、答えが当たってたら明日mixiの日記にまとめときます。自分でも忘れちゃうからね。）
○正解！
（藤島コメント：なるほど、検索で答えを探して来ましたか。まあ、それはそれで、生活の知恵でしょうね）
7,101,449,275,362,318,840,579
22桁って・・・。
7×10^n＋Ａ＝（10Ａ＋7）×7
を整理すると、
69Ａ＝7×（10^n－7）
69は7の倍数ではないので、
69の倍数になる最小の10^n－7を93、993、9993……と探していくと、
もっと、エレガントな解き方あるんかなぁ。
意外に若い順位な気もしないでもないけど、坂本九位でお願いします。
○正解！
（藤島コメント：もっと「算数的」な解き方がありますね。順位は意外とできてる人が多くて、１４位でした）
順位は12位くらいでおねがいします。
ってそもそも合っていたか怪しいものです。
（藤島コメント：ちゃんと合ってましたよ。順位は惜しくも１１位でした）
PIPI です。
回答
1,014,492,753,623,188,405,797
予想順位 30位
解法–無し
最初問題を見た時は呆然としましたが、例題を解いてみて、力で解けることがわかったので、ひたすら、力で解きました。
商に立つ数字がひとつ下の桁の被除数であるという法則なので、割り切れた時の商が７になるまで、次々と桁を増やしていきました。
７以外の数で割り切れてしまった時は、ゼロを足して続けました。
ただ問題は、上記は確かに法則通りに割り切れていますが、「最小」である保証はありません。
最小を証明する余力がありません。。。
○正解！
（藤島コメント：それで解き方も含めて正解です。ちなみにこれが「最小」である保証は、解答を求めるプロセスそのものの中にあるんですよ）
ふぇいまぉ
7,101,449,275,362,318,840,579÷7
=1,014,492,753,623,188,405,797
○正解！
ほほう…皆さん、頭の方から解いていっていたんですね…
除数が７だから通用する方法なんですけど、私の場合、商の１桁が７になることから、被除数の１桁が９。
商の２桁目が９になることから、被除数の２桁目が５といった風に、完全に逆ルートからとっかかりましたよ＾＾；
あの時間で２位だったとは…
っつーか、あれだけの説明を追加して１分台って何をどうやったら出てくるんだよ＾＾；一体どこまで準備してあるんだか…（苦笑）
（藤島コメント：いや、さすがのサンパウロ坂本さんでも、１分台は「解答」部分だけで、「説明」の方が来たのは 07:24:09 ですよ。僕が前の方に１つにまとめたのです）
７１０１４４９２７５３６２３１８８４０５７９
筆算で割り算を解く要領で進めればオッケーです (手抜きの説明)
問題（割る数）が自動生成されていく割り算ですね (^_^)
ところで、「最小の桁数」と指定する必要はあるのですか？
ちなみに、最初の数を指定しなければ、上の解の他に
６０８６９５６５２１７３９１３０４３４７８２
８１１５９４２０２８９８５５０７２４６３７６
９１３０４３４７８２６０８６９５６５２１７３
があるようです。多分他にはないかな？？？
（６・・・の商は、最初に０が来てしまいますが…）
割る数が別の数なら…二桁以上なら…さらに、別の進数で考えたら…
面倒なので、止めておきましょう (笑)
○正解！
（藤島コメント：「最小の桁数」と書いたのは、この数字の並びを何回繰り返してもいいからです。まあただでさえ２２桁もあるのに、そんな酔狂なことをする人もいないでしょうけど。ちなみに「割る数が別の数」は、サンパウロ坂本さんがやってくださいました）
＞「最小の桁数」と書いたのは、この数字の並びを何回繰り返してもいいからです。
あぁそうですね。全く気がついていませんでした (^_^;;;
＞「割る数が別の数」は、サンパウロ坂本さんがやってくださいました
はい。
投稿直後に見て、あ、やってる…と思いました (笑)