（解答）
最大 ９８７６５２４１３０
最小 １０２４３７５８６９
（解き方）
１１の倍数の性質には、偶数桁の数字の和と、奇数桁の数字の和との差が、必ず０または１１の倍数になっているというものがある。これを知っているかどうかが、この問題のポイント。
（ちなみに、なぜそうなるかは、Clockwiseさんが説明してくれています。また、他の倍数についても、僕のＨＰに「数の性質」として載せていますので、ご参照ください。）
０～９までの数の和は４５。
まず、偶数桁の和と奇数桁の和との差が０になることはありえない。差が１１の場合、偶数桁の和と奇数桁の数の和が、それぞれ２８と１７、またはその逆。差が２２の場合はありえず、差が３３の場合は、和がそれぞれ３９と６でなければならないが、和が６になるような異なる５つの数はない。
したがって、偶数桁と奇数桁の５つの数の和は、それぞれ２８と１７（またはその逆）の場合のみを考えればよい。
これを偶数桁と奇数桁（それぞれ１の位から数えた順番）に分けて、上位の桁から数を埋めていく。
最大については、
偶数桁 ９ ７
奇数桁 ８ ６
までを決める。偶数桁の合計２８、奇数桁の合計１７とすると、偶数桁の残りは５，４，３でなければならない。すると奇数桁の残りは、２，１，０。これを大きい方から並べて、
偶数桁 ９ ７ ５ ４ ３
奇数桁 ８ ６ ２ １ ０ → ９８７６８２４１３０
が得られる。
最小については、まず
偶数桁 １ ２ ４
奇数桁 ０ ３
までを決めてみる。偶数桁の合計を１７とすると、偶数桁の残りの数は２個で、その和は１０。残っているのはすべて５以上の整数で、こういう組み合わせはない。
次に、
偶数桁 １ ２ ３
奇数桁 ０ ４
とする。偶数桁の残りの数は２個で、その和は１１。したがって５と６をあてはめることができる。奇数桁の残りの数は７，８，９。これらを小さい方から並べて、
偶数桁 １ ２ ３ ５ ６
奇数桁 ０ ４ ７ ８ ９ → １０２４３７５８６９
が得られる。
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解答者数 １８
正解者数 ９
※01(01) 09/07 06:00:47 【δ】サンパウロ 坂本(48.4)
02(03) 09/07 06:23:27 【δ】バルタン星人(42.4)
※03(03) 09/07 06:37:05 【δ】毬藻(48.9)
04(00) 09/07 10:12:18 キムコウ(4.5)
05(27) 09/07 14:50:50 PIPI(5.6)
06(09) 09/07 17:10:23 【ζ】さいのぎ(60.8)
07(11) 09/07 17:32:28 【α】ばら(14.9)
08(00) 09/07 18:17:50 Clockwise(4.2)
09(11) 09/08 16:57:49 【γ】repy(33.8)
（残念！不正解）
00(00) 09/07 06:22:31 【β】Misa(23.7)
00(05) 09/07 06:27:35 【β】maki(24.1)
00(06) 09/07 06:47:36 【α】桃燈(19.6)
00(10) 09/07 07:52:05 tora(5.7)
00(00) 09/07 08:07:29 (新)gumao(2)
00(00) 09/07 11:39:36 703(4.2)
00(10) 09/07 12:52:37 ゆりまま(6.9)
00(11) 09/07 12:59:47 くりむーぶ３８９(3.3)
00(00) 09/07 23:11:19 【α】しゅう(17.2)
最大：9876524130
最小：1024375869
○正解！
予想は１位でお願いします。
ちなみに、
５の倍数は
9876543210
1023467895
４の倍数は、(８と１２も)
9876543120
1023457968
７の倍数は、
9876543210
1023456798
６の倍数は、（２も）
9876543210
1023456798
ですね。
○正解！
（藤島コメント：はい、もちろん一等賞。もう驚かなくなりましたけどね。「ちなみに」以降については、検証していませんが、７の倍数は難しそうです。３と９の倍数は、そのまま並べるだけかだらパズルにはならないわけですね
最大・・・９６８５７３４２０１
最小・・・１０２４３７５８６９
×残念！不正解
最大
9847361502
最小
1205364798
×残念！不正解
最少：１２３４５６０７８９
最大：９８７６５４０３１２
×残念！不正解
最大：９８７６５２４１３０
最小：１０２４３７５８６９
○正解！
（藤島コメント：はい、ようやく正解者が出ました。２等賞です）
合ってるか自信ないけど、予想２位で。
（藤島コメント：残念ながら、×でした）
最大
9857261403
（藤島コメント：まだ違いますね）
最小は１３２
最大は９８７６５２４１３０
（藤島コメント：最大は合ってますけど、最小はなんで３桁なの？）
論理的にというのが、ちっとも浮かばず、ひたすら力技で探しました。
２７個目にやっと発見しましたが、最大という実感は今ひとつ、エレガントな解法を楽しみにしています。投票は３番目だったので、５位だと嬉しいなm(__)m
（藤島コメント：最小の方については、何か勘違いがあったのかな。それにしても、力業じゃたいへんだったでしょうね）
最小
1024375869
（藤島コメント：はい、これで最小は合いました）
９８７６５２４１３ 最大
１２３４５６８１７ 最小
×残念！不正解
（藤島コメント：０が入っていませんよ）
最大
9876524130
○正解！
（藤島コメント：はい、これで最大も正解。おめでとう）
予想順位は3位で。
何度も訂正解答送ってすみません。
（藤島コメント：予想順位も正解です。ご苦労様）
最大：９８７６５２４１３０
最小：１０２４３７５８６９
うひゃー、朝寝坊してしまった。２０分のロス。
本問題、１１の倍数の判別法を知っていれば簡単に解けます。
一の位から１つおきに加えた数字の和と、十の位から１つおきに加えた数字の
和を求め、その差が11の倍数（０含む）なら、その数は11の倍数。
（実はさんじゅつまんで初めてこの公式を知りました。）
０－９の和は４５、差が１１の倍数になるのは２８－１７＝１１のみ
（３９－６＝３３の場合、５桁の和が６にはなりえない）
上から順に９８７と当てはめると偶数桁は９７５と来ると残る２個の和は
７なので４３となり、９８７６５２４１３０。
偶数桁：９７５４３
奇数桁：８６２１０
同様に、最小は１０２と当てはめていくと偶数桁は１２と来て残る３個の
和１４は３５６となり、１０２４３７５８６９
偶数桁：１２３５６
奇数桁：０４７８９
５分ほどで解けたので（サンパウロ坂本さんがいなければ）1位も狙えたはず
なのだが・・・・。
予想順位は３位でお願いいたします。
（藤島コメント：さいのぎさんがいなかったから、２位でしたね）
Max:9685734201
min:1024375869
×残念！不正解
（藤島コメント：最大が違いました）
偶数桁と奇数桁を足したら２８と１７になる事が分かれば後は楽ですね。
６位で。
（藤島コメント：でも、作り方の詰めに甘さがありましたね。「８」は和が１７のグループに持ってこないといけないんですよね）
最大 ９８７６５２４１３０
最小 １０２３４５６７８９
10位くらいでしょうか
×残念！不正解
（藤島コメント：最大は合ってましたが、最小が違いました）
訂正
最大 ９８７６５２４１３
最小 １２３４７５８６９
自身まったく無い。 １１位（割り切れるから？）
×残念！不正解
（藤島コメント：まだ０が入ってないことに気づいていませんね）
最大： 9876524130
最小： 1032748596
ではないでしょうか？
×残念！不正解
（藤島コメント：惜しい！最大は合っていましたが、最小が違いました）
9876524130
1304256789
11で割れるには奇数桁目と偶数桁目のそれぞれの和の差が
11で割れることが条件。
一つ見つけた組み合わせで出来た最大の数字と
最小の数字をとりあえず投稿
組み合わせが他にもあったら回答は間違い。
探してみます。
×残念！不正解
9876524130
1024375869
最小が違った。
(9.7.5.4.3)と(8.6.2.1.0)の差は11
一つ取り替えると偶数ずつ差が上下する
(9.8.7.6.5)と(4.3.2.1.0)の差は25で33の差を作るのは無理
だから差は11しか多分駄目みたいだ。
あとは差が11の中で組み合わせ…？
○正解！
（藤島コメント：はい、これで正解です。４人目の正解者でした）
×残念！不正解
（藤島コメント：最小は合いましたが、まだ最大が違いますね）
最大の数 ９８７６５１３２４０
最小の数 １４２３０５６７８９
１１で割り切れる数
各位の数を、１の位から数えて奇数番目の桁と偶数番目の桁とに分け、それぞれ和を求め、その２つの和の差が、０または１１で割り切れる数であること。
×残念！不正解
（藤島コメント：和が２８と１７に分けるところまではいいのですが、その後の処理に、やや問題がありました）
最大値 ９６８５７４３２１０
最小値 １０２５３６４８７９
だといいな・・・
とりあえず、１０位でお願いします。
×残念！不正解
（藤島コメント：残念ながら、どちらも足りませんでした）
最大 ９,７８５,６４３,１２０
最小 １,０２５,３６４,８７９
だったら、いいな～。（って、おい。）
１１の倍数の条件（末位から奇数番目の数の和と，偶数番目の数の和の差が11の倍数であること。）から、５つの数の和が１７と２８になるような組み合わせを考えて、最大、最小になるものを考えたつもりですが、詰めが甘いでしょうか。(・・;)
１１位だったら、おいしい・・・。（笑）
×残念！不正解
（藤島コメント：そうなんですよ。偶数桁と奇数桁の和で考えるのはいいのですが、数字の組み合わせ方に、もう一工夫でした）
PIPI です。
最小： 1024375869
最大： 9876524130
予想順位２７位
＜解法＞
１．１１で割り切れる数の見つけ方
「下から奇数番目の位は足して、偶数番目の位は引き、その結果が１１で割り切れる数」
２．差が割り切れるということは、差が０，１１，２２と１１の倍数のこと
１０桁なので、それぞれ５数の和となる。
３．０から９までの数の和は４５
よって、差が０ということは、５数の和が２２．５となり、整数の和として矛盾。
差が１１ということは、片方の和は１７、もう片方は２８。
差が２２ということは、小さい方の組みの和は１１．５となり整数の和として矛盾。
差が３３ということは、小さい方の組の和は６。０から４までを足しても１０なので、６になることは無い。
従って、成立するのは、差が１１。
４．差が１１となる組みを全て洗い出す。
A(0,1,2,5,9)(3,4,6,8,7) B(0,1,2,6,8)(3,4,5,7,9) C(0,1,3,4,9)(2,5,6,7,8) D(0,1,3,5,8)(2,4,6,7,9) E(0,1,3,6,7)(2,4,5,8,9) F(0,1,4,5,7)(2,3,6,7,8) G(0,2,3,4,8)(1,5,6,7,9) H(0,2,3,5,7)(1,4,6,8,9) I(0,2,4,5,6)(1,3,7,8,9) J(1,2,3,4,7)(0,5,6,8,9) K(1,2,3,5,6)(0,4,7,8,9)
５．最少の組み合わせ
十億の位「１」＆一億の位「０」が成立するのは G,H,I,J,K
千万の位が「２」が成立するのは J,K
百万の位が「３」が成立する組みは無い => 「４」ならぱ K
K を使用して作成できる最小の数 1024375869
６．最大の組み合わせ
十億の位が「９」＆一億の位が「８」が成立するのは B,C,D,G
千万の位が「７」が成立するのは B,D.G
百万の位が「６」が成立するのは B
B を使用して作成できる最大の数 9876524130
以上
○正解！
（藤島コメント：はい、ご苦労様でした。ようやく５人目の正解者が出ました）
最大：９，８７６，５２４，１３０
最小：１，０２４，３７５，８６９
思ったより難しくないですねぇ。とかいいつつ、間違えたら格好悪いゾ！
たまには、解法でも書くとしますか。
１１の倍数の特徴は、１の位、１００の位、１０，０００の位・・・の和と、１０の位、１，０００の位、１００，０００の位の和の差が０or１１の倍数となること、です。
ここで、０～９までの数字の和は、（０＋９）×１０÷２＝４５なので、各和の差は奇数にならねばなりません。
差が１１とすると、各和はそれぞれ１７と２８になります。差を３３とすると各和はそれぞれ６と３９になりますが、５つの数字の和は最低でも（０＋４）×５÷２＝１０なので、差は１１となります。よって、各和は１７と２８。
・最大の数は、出来るだけ大きな数から並べてばよく、１・１００・・・の位の和は１７に、１０・１、０００・・・の和は２８になります。
まず、９８と並べると、残りの和は２８－９＝１９、１７－８＝９となり、これを残りの４つの数字で満たすことができます。次の２つの数字も並べてみましょう。
９８ ７６。残りの和は１９－７＝１２、９－６＝３となり、これを残り３つずつの数字で満たすには、（５，４，３）、（２，１，０）しかありえません。ので、順番に大きい数からならべていくと、
９８ ７６ ５２ ４１ ３０となります。
・同様に最小も見てみましょう。最初に０がくることはできないので、
１０ ２３となって欲しいところですが、残り３数の和が、１７－１－２＝１４、２８－２－３＝２５とならなければならないのに対し、残りの数の最大の和は９＋８＋７＝２４にしかなりません。ので、４番目の数字は「３」がくることができず「４」がこないといけません。
１０ ２４。残り３数の和は１４、２４となりこれを満たすのは（３，５，６）と（７，８，９）。小さい順に並べると、
１０ ２４ ３７ ５８ ６９となります。
って感じでしょうか。１１の倍数の説明が不足してますけど、厳密な証明が必要なわけでもないし、いいですよね？
○正解！
（藤島コメント：もちろん、理由の説明はそれなりでいいですよ）
ん～、投票数が８かぁ。でも、結構間違えてる人も多そうなんだよなぁ～～～。
ってなわけで（？）、坂本九位でお願いします。
（藤島コメント：なかなかいい判断ですが、現実はもっとすごくて、ようやく６位です）
桁数間違えてた。
最小 １０２４３７５８６９
最大 ９８７６５２４１３０
順位は１１位ままにしておきます。
それよりも正解かどうか自信が無い。
○正解！
（藤島コメント：いえ、これで正解です。７位でした）
最大：９８７６５２４１３０
最小：１０２４３７５８６９
とりあえず、解答のみ。説明は、後で時間があれば。
○正解！
どのあたりから説明を書けば良いのかなぁ…とりあえず、このあたりから。
ある数ｙをｘで割った時の商と余りがｕとα、
ｚをｘで割った時の商と余りがｖとβである時、
ｙ＝ｘ×ｕ＋α
ｚ＝ｘ×ｖ＋β
よって、この和と積をＸで割った時の余りは、
ｙ＋ｚ＝（ｘ×ｕ＋α）＋（ｘ×ｖ＋β）
＝ｘ×（ｕ＋ｖ）＋α＋β
ｙ×ｚ＝（ｘ×ｕ＋α）＋（ｘ×ｖ＋β）
＝ｘ×（ｘ×（ｕ＋ｖ）＋α＋β）＋α×β
なので、α＋β、α×βをＸで割った時の余りに等しくなります。
また、１０を１１で割った時、通常、商は０で余りは１０としますが、
１０＝１１×０＋１０
＝１１×１－１
とも書けるので、商は１で余りは－１と考える事もできます。
すると、１０桁の数［ＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪ］を１１で割ったときの余りは、
［ＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪ］＝ Ａ×１０×１０×・・・×１０×１０
＋Ｂ×１０×１０×・・・×１０
＋・・・
＋Ｈ×１０×１０＋Ｉ×１０＋Ｊ
と書けるので、
Ａ×（－１）×（－１）×・・・×（－１）×（－１）
＋Ｂ×（－１）×（－１）×・・・×（－１）
＋・・・
＋Ｈ×（－１）×（－１）＋Ｉ×（－１）＋Ｊ
＝－Ａ＋Ｂ－Ｃ＋Ｄ－Ｅ＋Ｆ－Ｇ＋Ｈ－Ｉ＋Ｊ
＝－（Ａ＋Ｃ＋Ｅ＋Ｇ＋Ｉ）＋（Ｂ＋Ｄ＋Ｆ＋Ｈ＋Ｊ）
を１１で割った余りと一致します。
前半のＡ、Ｃ、Ｅ、Ｇ、Ｉ、後半のＢ、Ｄ、Ｆ、Ｈ、Ｊは、
それぞれの中で数値を入れ換えても余りは変わりません。
最初の１０桁の数字を２桁毎に区切った時、前半部と後半部はそれぞれ
区切った二桁の数値の十の位、一の位の数値に相当するので、以後、
それぞれに含まれる５つの数値の組を、カッコ付きで〔十の位〕、
〔一の位〕と呼ぶ事にします。
又、上の計算式の値を、Ｓ（ＡＢＣＤＥ，ＦＧＨＩＪ）と定義します。
すなわち、
Ｓ（ＡＢＣＤＥ，ＦＧＨＩＪ）＝－（Ａ＋Ｃ＋Ｅ＋Ｇ＋Ｉ）＋（Ｂ＋Ｄ＋Ｆ＋Ｈ＋Ｊ）
さて、どの数値でも良いのですが、便宜上最大の数９８７６５４３２１０を
基準として考えることにします。
Ｓ（９７５３１，８６４２０）＝－５
ここで、〔十の位〕あるいは〔一の位〕の内部で数値を入れ換えても
余りは変わらなかったことを思い出すと、Ｓの値を変化させるためには、
〔十の位〕の中の数値を〔一の位〕へ、そして移動したのと同じ個数だけ逆へ、
数値を入れ換える必要がある事が分かります。
今、〔十の位〕の中のＡと〔一の位〕の中のＢとを交換した場合を考えると、
Ｓの計算式の中で、Ａ→－Ａ、Ｂ→－Ｂと変化するので、Ｓの値の変化は、
｛－（－Ａ）＋（－Ｂ）｝－（－Ａ＋Ｂ）＝２×（Ａ－Ｂ）
すなわち、Ａ－Ｂの２倍変化することが分かります。
２つ、３つ、・・・５つ入れ換える場合には、この操作を２回、３回、
・・・５回繰りかえすことになります。
この事から、Ｓの値は偶数の変化しかしない事が分かります。
さらに、Ｓの最大値と最小値は、
Ｓ（４３２１０，９８７６５）＝２５
Ｓ（９８７６５，４３２１０）＝－２５
であることから、１１で割り切れる数はＳ＝±１１になっている必要が
ある事が分かります。上で考えた基準の数値のＳ＝－５だからです。
ここから、基準の数値からの入れ換えを、具体的に考えます。
ここで、基準の数値では〔十の位〕は奇数、〔一の位〕は偶数となっているので、
奇数組の数値の入れ換えではＳは奇数の２倍、偶数組の数値の入れ換えでは
Ｓは偶数の２倍（すなわち４の倍数）変化することに気をつけます。
（１）Ｓ＝１１にする
このためには、Ｓを１６増加させる必要があります。
すなわち、入れ換えは２又は４組で、上のＡ－Ｂに対応する数値の和が８。
こうなるのは、
９７⇔８０又は６２、９５⇔６０又は４２、
９３又は７５⇔４０、９１又は７３⇔２０、
９７５３⇔８６２０、９７５１⇔８４２０、９７３１⇔６４２０
の１１通りの入れ換えのみ。
（２）Ｓ＝－１１にする
このためには、Ｓを６減少させる必要があります。
すなわち、入れ換えは１、３又は５組で、上のＡ－Ｂに対応する数値の和が－３。
こうなるのは、
１⇔４、３⇔６、５⇔８、
９５１又は７５３⇔８６４、９３１又は７５１⇔８６２、
７３１⇔８４２又は８６０、５３１⇔６４２又は８４０
の１１通りの入れ換えのみ。
以上２２通りで全てを網羅しているはずです。
基準の数値を最大の数としたので、要求されている最大の数は、
出来るだけ小さな数値の入れ換えのみで達成できるものになります。
これは、１⇔４で、これ以外の入れ換えには必ず５以上の数値が含まれています。
すなわち、Ｓ（９７５４３，８６２１０）＝－１１であり、求める最大値は
９８７６５２４１３０。
次に、０～９を一回ずつからなる１０桁の最小値は１０２３４５６７８９なので、
１の入れ換えナシ、０の入れ換えナシ、２の入れ換えアリ、・・・と見ていくと、
０と１の入れ換えがないものは５つ、その中で２の入れ換えがあるものは
９７⇔６２と９５⇔４２であり、どちらにも３の入れ換えはないため、
４の入れ換えのない前者が最適。
すなわち、Ｓ（６５３２１，９８７４０）＝１１であり、求める最小値は
１０２４３７５８６９。
ちなみに、０の入れ換えのある１１通りは４×４！×５！＝１１５２０個、
入れ換えのない１１通りは５！×５！＝１４４００個の数値が作れるので、
０～９を一回ずつでできる１０桁の整数のうち、１１で割り切れる数は、
１１×１１５２０＋１１×１４４００＝２８５１２０個
存在することが分かります。
又、０～９を一回ずつでできる１０桁の整数は９×９！＝３２６５９２０個
あるので、１１で割り切れる数の割合は１１／１２６≒０．０８７３０
ということで、１／１１≒０．０９０９０よりも４％ほど小さくなっています。
又、最大値は大きい方から数えて５１番目、最小値は小さい方から数えて
７７１番目ですね。
問題を見た瞬間には、順番にあたっていくのがはやそうと思ったのですが、
実際にやってみると結構手間取るかもしれませんね (^_^;;;
（藤島コメント：１１の倍数の性質の解説から始まっての詳細説明、本当にありがとうございました。「順番に当たる」のは、プログラムを組まないとちょっと無理でしょう）
0123475869 （10桁じゃないですね）
9876513240
102・・・探したけど見つかりませんでした。
集中力の限界・・・力業じゃだめですね。orz
×残念！不正解
（藤島コメント：まあそうですね。ご苦労様でした）
１１の倍数判別法の証明
１１で割った商をＸ＝ＡＢＣ・・・Ｎ（Ａ，Ｂ，Ｃは各桁の数）とすると
１０Ｘ＋Ｘを考える。
ＡＢＣＤ・・・Ｎ０
＋ＡＢＣＤ・・・Ｎ
繰り上がりが無いと仮定すると偶数桁、奇数桁ともその和は
（Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ・・・＋Ｎ）と等しくなりその差は０
繰り上りがあるとき、例えば偶数桁が繰り上がれば、偶数桁の和は
－１０され、奇数桁の和は＋１されるので、その差は１１
すなわち幾ら繰り上がりがあろうと、必ずその差は１１の倍数となる。
しかし一度は５時４０分に目を覚ましながら不覚にも二度寝してしまった。
月曜はヤマを張りますので（当たる自信度６０％）今度は寝坊せずに
１位を目指します。
（藤島コメント：はい、がんばってください）
外出から帰ってきてもう１度見直したら
また間違ってたみたいですね。
最大…９８７６５２４１３０
まだ自信ないですけど。
○正解！
（藤島コメント：はい、正解です。結局、正解者は９人でした）
藤島さん、たぶん、ほとんどの人が１１の倍数の判別法を知らないと思いますよ。
私も４９歳になって初めて知ったぐらいですから・・・。
まあ、小職が解説を加えていますので改めての解説は不要と思いますが
藤島さんの解説だけを読んだ人はちんぷんかんぷんかも・・・。
しかしあの時間でも２位になれるのか。サンパウロ坂本さん、すご過ぎ。
（藤島コメント：そうでした。最初は、ヒントとして１１の倍数の判定法を、問題文に書いていたのを、途中で消してしまっていたことを忘れていました。改めて書いておきます）
毬藻さん、順位的中させちゃうし･･････
今回、抜けると思ったんだけどなぁ。
0.5点の差が、大きいです。