すべて異なる９つの整数を３行×３列に並べ、縦、横、対角線のどの列をとっても、３つの数字を掛け合わせた積が、すべて１０００になるような、「積の魔方陣」を作ってください。
ただし、９つの数のうちの最小の数字は最上段（次のＡ，Ｂ，Ｃのいずれかの位置）に、最大の数字は最下段（Ｇ，Ｈ，Ｉのいずれかの位置）に配置し、かつ、Ａ＜Ｃでなければならないものとします。
Ａ Ｂ Ｃ
Ｄ Ｅ Ｆ
Ｇ Ｈ Ｉ
ヒント：
まず、１０００の約数をすべて書き出してみることです
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すべて異なる９つの整数を３行×３列に並べ、縦、横、対角線のどの列をとっても、３つの数字を掛け合わせた積が、すべて１０００になるような、「積の魔方陣」を作ってください。
ただし、９つの数のうちの最小の数字は最上段（次のＡ，Ｂ，Ｃのいずれかの位置）に、最大の数字は最下段（Ｇ，Ｈ，Ｉのいずれかの位置）に配置し、かつ、Ａ＜Ｃでなければならないものとします。
Ａ Ｂ Ｃ
Ｄ Ｅ Ｆ
Ｇ Ｈ Ｉ
ヒント：
○正解！
（藤島コメント：はい、今日もまたまた１等賞。しかも０分台！いやはやまったく…）
20 １ 50
25 10 ４
２ 100 ５
○正解！
（藤島コメント：はい、２等賞。サンパウロ坂本さんの壁は、ほんとに厚いね）
答えの書き方は、あんな感じでいいのでしょうか？
１から９の和の魔方陣と、作る順序はおんなじですね。
予想は１位でお願いします。
（藤島コメント：はい、あれでいいですよ。もちろん順位も的中）
×残念！不正解
（藤島コメント：あれ、Ａ＞Ｃになっちゃってますよ）
×残念！不正解
（藤島コメント：これもＡ＞Ｃですね）
順位予想は4位でお願いします。
（藤島コメント：解答順位としては当たってたんですけどね）
新PCから解答したので、最初名前欄とメール欄を入れ忘れて投稿してしまいました。
もったいないことしましたorz
順位予想は3位でお願いします～。
（藤島コメント：条件の読み落としが、もっともったいないね。正解なら順位も合ってたのに）
２位予想で。
（藤島コメント：お、堅く来ましたね。的中）
○正解！
（藤島コメント：はい、３等賞）
5位
（藤島コメント：２人間違えた分、繰り上がっちゃいました）
○正解！
（藤島コメント：はい、４等賞。良い方で、良かったね）
Ａ＝２０ Ｂ＝１ Ｃ＝５０
Ｄ＝２５ Ｅ＝１０ Ｆ＝４
Ｇ＝２ Ｈ＝１００Ｉ＝５
昼休みまで持ち越してしまった…
○正解！
（藤島コメント：でも、なんとベスト５なんですよ）
順位は１５位にしておきます。よろしく。
（藤島コメント：５位は、自分でもびっくりしたでしょう）
Ａ（２０) Ｂ（ １） Ｃ（５０)
Ｄ（２５） Ｅ（ １０） Ｆ（ ４）
Ｇ（ ２） Ｈ（１００） Ｉ（ ５）
これで判りますか？
順位は、投票が少ないので８位でお願いします。
○正解！
（藤島コメント：なかなかいい読みでしたが、６位でした）
PIPI です。
予想順位 19位
回答に一番時間がかかったのが、罫線です。。。。
[解法]
1000 = 23 x 53
この素因数を組み合わせてできる、1000の因数
-の形式で表にする。
普通の魔法陣(1-9)を条件通りに並べてみる。（最少は最上段、最大は最下段、Ａ＜Ｃ）
6|1|8
-+-+-
7|5|3
-+-+-
2|9|4
上記のべき上の表と、数字を組み合わせる。
なお、上記の組み合わせは１数で1000になってしまう３乗同士を除いて、１５組。
９組は、それぞれ３乗を除いて作ってみる。
1 => 1
2 => 2
3 => 4
4 => 5
5 => 10
6 => 20
7 => 25
8 => 50
9 => 100
これを普通の魔法陣に当てはめると、回答の様になり、成立。
※ 3乗を除いた理由については、もやもやとしたアイディアはあるのですが、決定的な理由までは、思いついていません。
数学の答案ではないと言うことで、ひらめきもご容赦ください。
○正解！
（藤島コメント：全然悪くないですよ。順位は７位でした）
○正解！
１５位
○正解！
（藤島コメント：９位でした）
○正解！
（藤島コメント：なるほどね。それも面白そう。条件を整えて「読者投稿」の方に掲示しておきますので、しばらくお待ちください）
20 1 50 25 10 4 2 100 5
○正解！
（藤島コメント：改行がないけど、まあよしとしましょうか）
携帯で送りましたが、改行がちゃんとされているかどうか、よくわかりません。
朝の時間では難しくて、仕事の合間にとにかく、約数を全部書き出して、真ん中に入る数字を考えて、後は適当に組み合わせました。投票は５だけど、予想は坂本九位でm(__)m
（藤島コメント：はい、これで完璧ですね。１１位でした）
○正解！
（藤島コメント：いやいや、そこまで甘くはありませんよ。１２位でした）
久しぶりに素因数分解をやりました。
○正解！
（藤島コメント：大人なら、たいていそうでしょうね）
朝の時間で解くことが出来ずorz
仕事中、のどに小骨が刺さった様な一日でした。
１３位
○正解！
（藤島コメント：でも、予想順位的中。おめでとうございます）
○正解！
突然ですが、予告です。
次の月曜日、早解き欠席します。
日曜日の午後に、コンサートに行ってきますので、出題の時間(日曜午後６時)までに帰ってこられません。
悔しいので、その週は別の曜日で早解きに参加したいと思っています。
また、仕事サボるつもりです。
順位予想のたしになれば幸いです。
（藤島コメント：律儀なアナウンスですね）
の７通りのどれか。
絶対値部と負号部とは別々に考えても問題ない（一般性を失わない）ので、
とりあえずＡ～Ｉは自然数と限定してみます。
【解法１】
１０００を素因数分解すると２３×５３なので、Ａ～Ｉは
２ｎ×３ｍ（ｎ、ｍ＝０、１、２、３）の１６通りの整数から選ばれる。
Ａに対応する数のｎとｍとをそれぞれｎＡとｍＡ、
・・・
Ｉに対応する数のｎとｍとをそれぞれｎＩとｍＩとする。
すると、解を満たすものに関してｎ＊あるいはｍ＊だけを並べたものは、
通常の足し算（和が３）の魔方陣になっている。（ただし、同じ数値を含む）
これの候補は、実質的には
の二通りのみ。ただし、（イ）には回転した４通りが含まれる。
ｎ＊とｍ＊に、（ア）と（ア）又は（ア）と（イ）を選ぶと、
（イ）の同じ数字の位置は同じ数字になってしまうのでダメ。
よって、（イ）と（イ）の組み合せとなる。
次に（イ）の回転まで考えると、ｎ＊とｍ＊が回転角０°、１８０°で
重なった場合、右上から左下への対角線上は全て同じ数値になるのでダメ。
よって、９０°、あるいは－９０°回転したものを組み合わせることになる。
これらから、
及びこれらを回転したものが解。
なおこの２つは、対角線での鏡映をとれば一致するので、基本的には同じもの。
【解法２】
１０００を素因数分解すると２＾３×５＾３なので、自然数３つの積が
１０００になるのは、左から大きな数を並べると、
（１０００×１×１）、［５００×２×１］、［２５０×４×１］、
（２５０×２×２）、［２００×５×１］、１２５×８×１、１２５×４×２、
１００×１０×１、１００×５×２、５０×２０×１、５０×１０×２、
５０×５×４、［４０×２５×１］、（４０×５×５）、２５×２０×２、
２５×１０×４、２５×８×５、２０×１０×５、（１０×１０×１０）
の１９通りのみ。ただし、（）の４通りは同じ数が含まれるのでダメで、
使えるのは１５通り。
魔方陣の各数値は、少なくとも縦と横の２通りの式で使われている。
１０００の約数のうち、上の１５通りの式の中に０回あるいは１回しか
出てこない、４０、２００、２５０、５００、１０００は使えない。
これらを含む［］の４通りを取り除き、使える数式は残り１１通り。
Ｅの位置の数値は、縦横斜めの４通りの表し方がなくてはならない。
１０００の約数のうち、残り１１通りの式の中に４回以上出現する
数値は、２、５、１０のみ。（全て４回）
○ Ｅ＝２の時
４通りの式は、
１２５×４×２、１００×５×２、５０×１０×２、２５×２０×２
最初の式中の１２５、２番目の式の１００は、１１通りの中で二度しか
出てこないため、そのもう一方の式中の数値が上の４式中に含まれて
いなければならない。しかし、１と８とが含まれていないのでダメ。
○ Ｅ＝５の時
４通りの式は、
１００×５×２、５０×５×４、２５×８×５、２０×１０×５
最初の式中の１００、３番目の式の８は、１１通りの中で二度しか
出てこないため、そのもう一方の式中の数値が上の４式中に含まれて
いなければならない。しかし、１と１２５とが含まれていないのでダメ。
○ Ｅ＝１０の時
４通りの式は、
１００×１０×１、５０×１０×２、２５×１０×４、２０×１０×５
最初の式中の１００は、１１通りの中で二度しか出てこないため、
そのもう一方の式（１００×５×２）中の数値が上の４式中に含まれて
いなければならない。そして、この場合にはそうなっている。
１００は辺のまん中である必要があるため、例えばＢにおくと、
あとは五月雨式に決まっていって、
の２通り。１００を置く位置をＢのかわりにＤ、Ｆ、Ｈとする事は、
これらを回転することに対応する事がすぐに分かり、【解法１】と
全く同じ解である事が分かる。
【解法１、２共通】
ここまで、すなわちＡ～Ｉが自然数の範囲内で解答条件に合うものは、
上の最初のものただ一つです。
あとは、符号の割り振り方の問題だけです。
縦横斜めの３数字をかけて正の数（１０００）になるためには、
全てが正か、一つが正で２つが負の数である必要があるため、
の８通りの割り振り方があります。
これを、自然数での解に適用し、回転と対角線での鏡映を組み合わせると、
下段３つめだけは解答条件に合わせることはできず、その他のものは
上の解の通り。
もしかして、負の数は想定外でした？
○正解！
（藤島コメント：はい、負数のことは、すっかり失念していました）
あぁぁ、間違っていますね (^_^;;;
負号⇒符号 は良いとして、解は
の４通りのどれかです。
の後半４つに関しては、斜め方向の一つがマイナスになってしまいます m(_ _)m
（藤島コメント：なるほど。でも、正の数の正解がちゃんと含まれていましたので、前の解答を正解時刻として採用しました）
っていうのも、ありですよね。
正の整数(自然数)っていう条件ないから。
中学生の数学の教科書には、負の数の魔方陣も載っていたので、ちょっと書いてみました。
（藤島コメント：はい、そういうことです。Clockwiseさんに、そちらも全通り書き出していただきました）
１０００の立方根が１０なので、真ん中の数を無条件で１０にして解いていました。
真ん中がわかると、あとは１００の約数なので、１と１００、２と５０、４と２５，５と２０の４通りに決まって、すぐに解けました。
ですが、１６３８４では、そうもいかないですね。
もしかして、９マスじゃないのかな？
（藤島コメント：いえ、今考えたんだけど、ほぼ同じ解き方で解けそうですよ → その後、僕の思い違いだったことが判明しました。解は、今のところ不明です（大汗））
hal-9000さんからご提供いただいた問題を、「おまけ問題」として掲載しておきました。答えの分かった方は、こちらからどうぞ。
ふぅ～。やっと解けたぁ～！
まだ間に合います？
因数分解して、１０００の約数を挙げてみる、ってところまでは
すんなり思いついたのですが、そこからどうもうまくいかない。
最初から間違ってたのか？
先週、かなりお褒めの言葉をいただいたので
今週もぜひエレガントな解法を思いつこうと
張りきってみたものの、てんで無理！！
やっぱここは地道に約数で表を埋めるしかないかなぁ～と
考えるものの、なかなか答えにたどり着けない…
やっとたどり着いた解法ポイントは『「１」を入れる』ということ。
これに気づくのに２日かかりました…
どうも肩に力が入りすぎた感があるなぁ～。
自分では「ほめられて伸びる」タイプかと思っていたのですが
どうも「ほめられたら調子に乗る」タイプみたいです。
でも、また、たまにはほめてくださいね～♪
○正解！
（藤島コメント：まあ、そうそう毎度毎度エレガントな解答なんて、できませんよね。基本的には、解けるやり方で解いていただければいいんですよ。「ひらめき」は、向こうからやってくるもので、狙って得られるものじゃないですから）