石取りじゃんけん

（解答）
（１）　６回
（２）　４回目と５回目

（解説）

はるさんと藪蘭さんは、最初それぞれ６４個ずつ碁石を持っていたのだから、碁石の数は、合わせて１２８個。
最後、藪蘭さんの碁石ははるさんよりも３０個多かったのだから、最後の碁石の数は、はるさん４９個、藪蘭さん７９個。
（小学校の「和差算」です。（１２８－３０）÷２＝４９、４９＋３０＝７９）

ここで、まず最後に行ったじゃんけんを考えてみる。
もし藪蘭さんが最後に負けたとすると、碁石の数は半分になっていたはずだから、その前の藪蘭さんの碁石は、７９×２＝１５８個。
ところが、これは２人合わせた碁石の総数よりも多いので、ありえない。したがって、最後にじゃんけんに勝ったのは、藪蘭さん。
すると、直前の碁石の数は、はるさん：４９×２＝９８個、藪蘭さん７９－４９＝３０個であることがわかる。
次に、その直前のじゃんけんの結果を考えると、同様に、はるさんが勝っていたことがわかり、そのじゃんけんの前の碁石の数は、藪蘭さん６０個、はるさん６８個であることがわかる。

以下、このように考えて、順次、勝敗および勝負の直前の碁石の数を書き出していくと、次のような表ができあがる。

はる　　４９　　９８　　６８　　　８　　１６　　３２　　６４
　　　　　　×　　　○　　　○　　　×　　　×　　　×
藪蘭　　７９　　３０　　６０　１２０　１１２　　９６　　６４
　　　　　　○　　　×　　　×　　　○　　　○　　　○

この結果、じゃんけんを行った最低の回数は６回で、はるさんが勝ったのは、このうち４回目と５回目であることがわかる。

（解答者一覧）

（1）＜hal-9000さん＞

2006/12/29 06:08:39

[ハンドル名]

　hal-9000

[パズルの答え]

（１）５回

（２）４回目

[感想]

　６時を待っている間、テレビを見ていたら、ルパン３世に登場するクラシックカーを忠実に再現したものが映っていました。格好良いですねぇ。
　宇宙戦艦ヤマトのプラモデル約５万円は、かなり欲しいかも(^^;)。

（1）’ ＜hal-9000さん＞

2006/12/29 06:10:51

[ハンドル名]

　hal-9000

[パズルの答え]

（１）６回

（２）４回目,５回目

[感想]

　前後半に分けて考えていて、１回目の送信時には、途中を１個抜かしてしまいました(^^;)。
　６４個なのに５回？というのが気になって、すぐに見直しました。

　前回の予告を聞いて「１つの石の山から交互に１～３個取る。最後の山の最後の１個を取ったら負け。じゃんけんで勝ったら、各山の石の数に応じて、先手を選ぶべきか、後手を選ぶべきか」っていう問題が思い浮かび（というか、それしか思い浮かばなかったのです）、以前考えた時のメモ（山の数が１～４個）を引っ張り出して、すぐに送信できるようにメールも作成していたのですが(^^;)。

正解！
おまけ問題で、順位は関係ないのですから、何もお手つきするまで気合い入れて早解きしなくても…(^^ゞ
それにしても、その山崩しの問題も、おもしろそうですね。読者投稿パズルにしていただけますか？

（2）＜バルタン星人さん＞

2006/12/29 06:35:46

バルタン星人です。

（１）６回
（２）２回（４回目と５回目）

考え方
６４ →７９と４９にすれば良い。

パズルの王道、逆から解く。（６４の約数になればそこから連勝、連敗）
藪蘭さん７９→３０→６０→１２０→１１２→９６→６４
はるさん４９→９８→６８→　　８→　１６→３２→６４

かかった時間：１０分程度

一度に１０点取れるなら、あと１回で行けるかな

正解！
逆から解くのが「パズルの王道」だったのですか。知りませんでした。
ところで、一度に１０点取れるのは「ガチンコ」のときなので、バルタン星人さんは、その前にプラチナに上がっちゃっていると思いますよ。（笑）

（3）＜しゅうさん＞

2006/12/29 07:22:13

[ハンドル名] しゅう

[パズルの答え]

（１）６回

（２）４回目、５回目

[意見・感想]

　小学生の算数が出来なかったら・・・どうしよう、
妙なプレッシャーを感じていましたが、
　その心配が現実のものに・・orz
　きれいな解法がわからず、最後の４９から逆算でたどりつきました。
　小学生が勉強している所には近づかないようにします。

　一年間ありがとうございました

正解！
いえいえ、ちゃんと解ければ、それでＯＫですよ。
「最後から逆算」というのが、まさに「きれいな解法」ですから、その点でも自信を持っていただいて結構ですよ。(^_-)-☆

（4）＜repyさん＞

2006/12/29 08:05:59

repyです。

（１）　6回

（２）　4回目と5回目

最後に持っている碁石の数は、藪蘭さんが79個、はるさんが49個。
負けたら半分を相手に渡すのだから、前の回の数は負けた方の数を2倍するとわかる。
最後の回は藪蘭さんの79個を2倍すると二人の合計の128個以上になるのでありえない。
よって負けたのは、はるさん。
これを繰り返すと答えが出てきました。碁石の数が奇数になるのは必ず6回目からですね。
かかった時間は10分ちょっとかな。

これ、4年生の問題ですか？5年の息子にもやらせてみます♪

「高い目標」は考え中・・・。

正解！
パーフェクトでしたね。お見事。さて、息子さんは、どうだったかな？
高い目標も、期待していますよ。

（5）＜ヒャクレン・ラランジャ(サンパウロ坂本)さん＞

2006/12/29 10:02:55

ヒャクレン・ラランジャ(サンパウロ坂本)

（１）はるさんと藪蘭さんは、何回じゃんけんをしたでしょうか。（最も少ない数をお答えください。）
　　　６回

（２）このうち、はるさんがじゃんけんに勝ったのは、どの回でしょうか？（勝った回が複数ある場合には、すべてを挙げてください。）
　　　４回目と５回目

最終的に４９個と７９個になるところから逆に求めていきました。
きっと、どなたかが解説されると思いますので、私は解説やめときます。

このゲームを、実際の普通の小学４年生にやらせたら、勝ちたいがあまりに、個数をごまかす子も出てくるんだろうなぁ、なんて思いました。

本当は３２個持ってるのに、「俺の石３０個だから、ほら１５個やるよ」なんて。
２個はポケットに入れたままなのです。
で、２人ともポケットに入れすぎて、やたら少ない個数の石取りになっちゃう(笑)。

この年代の子は、負けず嫌いですから・・・・・。
そして、そんな少年の心を持った大人たちが、このメルマガの読者だったりして(^_^.)。

正解！
コメントには、笑わせていただきました。たしかにおっしゃるとおりですね。
でも、「負けず嫌い」というのは、成長の原動力ですから、いいことですよね。
なお、コメントの後段「目標」については、メルマガの方でご紹介させていただきます。

（6）＜桃燈さん＞

2006/12/29 10:51:14

桃燈

結果が３０個差と言うことは、藪蘭さんが７９個ではるさんが４９個（６４±１５）。
碁石の総数が１２８個だから、片方がそれを越えないように逆算する。
藪蘭さん　３０個　はるさん　９８個
藪蘭さん　６０個　はるさん　６８個
藪蘭さん　１２０個　はるさん　８個
藪蘭さん　１１２個　はるさん　１６個
藪蘭さん　９６個　はるさん　３２個
藪蘭さん　６４個　はるさん　６４個
よってじゃんけんは６回、はるさんは４回目と５回目で勝っている。
比較的エレガントだと思うけど…どうだろう

正解！
はい。説明も簡潔で、実にエレガントでした。お見事。

（7）＜いっちゃん＞

2006/12/29 15:57:26

（１）はるさんと藪蘭さんは、何回じゃんけんをしたでしょうか。（最も少ない
数をお答えください。）：６回

（２）このうち、はるさんがじゃんけんに勝ったのは、どの回でしょうか？
（勝った回が複数ある場合には、すべてを挙げてください。）：４回目と５回目

かかった時間は２０分くらいかな。

正解！
はい、ＯＫでした。２０分くらいで解けたなら、十分立派ですね。

（8）＜ZVXさん＞

2006/12/29 16:18:02

[ハンドル名]　ZVX

[パズルの答え]

　　　　　　　　１　　２　　 ３     ４　　５　　６
藪蘭さん　　64　○96　○112　○120　●60　●30　○79
はるさん　　64　●32　● 16  ●  8　○68　○98　●49

（１）はるさんと藪蘭さんは、何回じゃんけんをしたでしょうか。（最も少ない数をお答えください。）
　　　　　　　　　　　　　　６回

（２）このうち、はるさんがじゃんけんに勝ったのは、どの回でしょうか？（勝った回が複数ある場合には、すべてを挙げてください。）
　　　　　　　　　　　　　　４回目、５回目

正解！
きれいな図を書いていただきました。とてもわかりやすくて良いですね。

（9）＜Misaさん＞

2006/12/29 20:59:21

【ハンドルネーム】Misa （1）7回
（2）5回目と6回目

残念！不正解
考え方が書いてないから、どこで間違えたのかはわからないけれど、どちらもちょうど１回ずつ多くなっているところをみると、単なる数え間違いかも。惜しかったね。

（9-2）＜Clockwiseさん＞

2006/12/29 23:46:36

[ハンドル名]

Clockwise

[おまけパズルの答え]

（１）６回

（２）４回目と５回目

[意見・感想]

「碁石が６４個ずつ合計１２８個」「二人」「勝ち/負け」「半分移動」
という事なので、これは２進数で考えたらうまくいくのではないかという予想を立てて、最初の数回を計算。すると、すっと答えが出て来ました。

１回目の勝負で勝ったらＡ＝１、負けたらＡ＝０
２回目の勝負で勝ったらＢ＝１、負けたらＢ＝０
３回目の勝負で勝ったらＣ＝１、負けたらＣ＝０
・・・

として、右から順番に「・・・ＣＢＡ１」と並べ、右に０を足して７桁にする。
それが、手持ちの碁石の数。（ただし、６回目までのみ有効）

差が３０になるのは、はるさん４９個と藪蘭さん７９個の時。
はるさんの方の４９を２進数に直すと「０１１０００１」。
なので、１～３回目は負け、４回目と５回目は勝ち、最後６回目に負けの合計６回の勝負で手持ちは４９となるはず。これを実行して確認。
ここまで、１５～２０分ぐらいだったでしょうか。
全ての場合について計算していった方が、よっぽど早くたどり着きますね (^_^;;;
ただし、最初１０４８５７６個ずつ持っていて、最終的に差が３０になったなんて問題の場合には、この考え方の方が圧倒的に有利ですね (笑)
碁石 1つ 1gとして、1t以上…現実のゲームとしては難しそうですけど (大汗)

上の方法の根拠は、、、
手持ちの碁石の数をｘとした場合、相手は（１２８－ｘ）個持っているので、
　じゃんけんに勝ったら、ｘ＋（１２８－ｘ）÷２＝ｘ÷２＋６４（個）
　じゃんけんに負けたら、ｘ÷２（個）
になるので正しいことが分かります。（以上、後付けの説明 (^_^;;;）
＃ ６４は２進数で１００００００
＃ ２進数を２で割るのは、数字を一桁右へずらすことに相当

ただしこれでは、小学４年生に説明するには難しすぎる…大分悩みました。
発想の転換が必要ですね。

上の２つの式（じゃんけんに勝った場合と負けた場合）をジッと見ていて、ある事に気がつきました。碁石の数は、じゃんけんに勝ったら合計１２８個の半分以上（６４以上）、負けたら半分未満（６４未満）になるではないですか！
もっと簡単に言ってしまうと、「勝った方の持ち石数＞負けた方の持ち石数」！！

これは、負けたら手持ちの半分になるのだから、その結果が合計の半分未満になるのは当然。残りを勝った方が持っているので、そちらは半分以上になるのも当然。
なので、大小関係が上のようになるのも当然。。。

そうすると、手持ちの碁石の数を比べることで、一回前に勝ったか負けたかが分かってしまいます！！！

ということで、最終状態（はるさん４９個と藪蘭さん７９個）から逆に最初の状態（はるさん、藪蘭さん共に６４個）になるまでたどっていけば、答えが出てしまう…
最も単純には、前回の勝負前には、負けた方は手持ちの２倍、勝った方は残りを持っていたはずです。

実際にやってみると、

　はるさん＝４９、藪蘭さん＝７９
　　４９＜７９なので、一つ前は、はるさんの負け、藪蘭さんの勝ち

　はるさん＝９８、藪蘭さん＝３０
　　９８＞７９なので、一つ前は、はるさんの勝ち、藪蘭さんの負け

　はるさん＝６８、藪蘭さん＝６０
　　６８＞６０なので、一つ前は、はるさんの勝ち、藪蘭さんの負け

　はるさん＝８、藪蘭さん＝１２０
　　８＜１２０なので、一つ前は、はるさんの負け、藪蘭さんの勝ち

　はるさん＝１６、藪蘭さん＝１１２
　　１６＜１１２なので、一つ前は、はるさんの負け、藪蘭さんの勝ち

　はるさん＝３２、藪蘭さん＝９６
　　３２＜９６なので、一つ前は、はるさんの負け、藪蘭さんの勝ち

　はるさん＝６４、藪蘭さん＝６４
　　これが、最初の状態

これを逆に見ていけば、勝敗の履歴と合計勝負数は簡単に分かります。

なるほどねぇ…これなら小学４年生にでも説明できるかな？(ちょっと弱気)
しかもこの方法なら、最初の碁石の分配状態や数に制限なく、どんどん遡って見つけ出していくことが出来るというメリットがありますね。

ただし、厳密なことを言うと、上で「最も単純には」と書いて逃げた部分、つまり、手持ちの碁石数が奇数だった場合を考えないといけません。
すなわち、「はるさん＝４９、藪蘭さん＝７９」の一つ前は、
　はるさん＝９８、藪蘭さん＝３０・・・（１）
以外に、
　はるさん＝９９、藪蘭さん＝２９・・・（２）
だった場合も考えなくてはなりません。
結局、最初から順番に計算していく場合と、計算量としては同じ…(意味ない？)

ここで、私が最初に書いた方法を流用すると、今回の問題のように２の○乗個ずつから始まる場合、どんな数字でも○回以内に到達出来ることが分かるので、その場合には（２）は考える必要なく、（１）のみで良いという事が、分かるのですが…小学４年生に説明できないという事に戻ってしまう… (^_^;;;

もっと良い方法がないかと考えてみたのですが、思いつきそうにありません。
という事で、小学４年生への説明は、ギブアップかな…

正解！
2進法！なるほど、鮮やかですね。でも、たしかに小学4年生には説明できませんね。
ユニークな解法、ありがとうございました。

（10）＜さいのぎさん＞

2006/12/30 18:42:16

[なまえ] さいのぎ

[時間] ４分ていど

[こたえ] （１）６回
（２）４回目と５回目

[ときかた] ある時点で、二人の持ってる碁石の数が違うときは、
もってる碁石の数が少ない方がジャンケンで負けている。
なぜなら、
１）二人の碁石の総数は６４＋６４＝１２８で一定
２）負ける前の石の数は現在の２倍
３）碁石の数が多いほうは６５以上もっている

２）３）より碁石の数を多くもってる方が直前でまけたとすると、
ジャンケンで負ける前にもってた石の数は６５×２＝１３０以上となってしまい、
碁石の総数１２８を上回ってしまう。

よって、碁石の数が少ない方は、その数を２倍、
多い方は上述の数を１２８から引いた数、
が、直前の状態となる。

（６４＋６４＋３０）÷２＝７９
１２８－７９＝４９

　　　はる　　藪蘭
６　×４９　　７９
５　○９８　　３０
４　○６８　　６０
３　×　８　１２０
２　×１６　１１２
１　×３２　　８０
　　　６４　　６４

正解！
さすがさいのぎさん、といった解答ぶりでした。おみごと！

（11）＜danさん＞

2007/1/1 12:25:57

[ハンドル名]

dan

[パズルの答え]

（１）はるさんと藪蘭さんは、何回じゃんけんをしたでしょうか。

　　６回

（２）このうち、はるさんがじゃんけんに勝ったのは、どの回でしょうか？

　　４回目、５回目

[意見・感想] あけましておめでとうございます。

自宅テラスから初日の出。上ったばかりのひしゃげた光球の上を、遠く羽田から離陸した芥子粒のような旅客機が掠めて上昇して行きました。

正月早々予定もないので、朝から時間をつぶしてました。
材料をありがとうございます。

結果的には頭の中は小学４年以下でした。
エレガントな解法がありそうなんですが、まるっきり思いつきません。

解き方が判らないので答えだけでもだそうか、と考えました。

＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋

ｈ＝はる、ｙ=藪蘭

ｙ－ｈ＝３０
ｙ＋ｈ＝１２８

から、結果は　ｙ＝７９　ｈ＝４９

・じゃんけんで勝ったほうが持ち数が多くなる。
・その際、相手の持ち数は半分になっている。
と考えて、結果から遡ってみました。最後は藪蘭さんが勝っているので

　　　　　　ｈ　　　　　　ｙ
－－－－－－－－－－－－－－－
　ｎ回　　×　４９　　７９　○
　ｎ－１　○　９８　　３０　×
　ｎ－２　○　６８　　６０　×
　ｎ－３　×　　８　１２０　○
　ｎ－４　×　１６　１１２　○
　ｎ－５　×　３２　　９６　○
－－－－－－－－－－－－－－－
　　　　　　　６４　　６４

ｎ－５を一回目とカウントした結果が「答え」に記述してあるものです。

正解！
いえいえ、これが「エレガントな解法」と僕が思っていたものですよ。
「最後から遡れば簡単」ということに気づくのは、言うほどやさしいことじゃないと思っています。少なくとも、僕は時間がかかりました。

（12）＜makiさん＞

2007/1/2 23:27:19

ハンドル名
maki

パズルの答え
（１）６回
（２）１回と５回

お恥ずかしい話ですが、地道にあらゆるパターンを探してしまいました。論理で解決する方法ってあるんですよね。片方が９９になればいいというのはわかったのですが、それまでのパターンがかんがえられませんでした。(^^ゞ

残念！不正解
片方が９９個だと、差は６０個になっちゃいますね。勘違いでしょうね。
「地道にあらゆるパターン」は、僕も最初そうしました。で、「小学４年生が、制限時間内にこれだけの場合分けを、本当に正確にこなしきれるのか？」とか思っちゃいました。上の解答者の方々とは違って、僕も頭堅いですから、ご心配なく。

（13）＜藪蘭さん＞

2007/1/3 12:59:29

[ハンドル名]

藪蘭

[石取りじゃんけん　パズルの答え]

（１）６回

（２）４回目、５回目

最も少ない回数で30個の差が出る可能性を考える場合、

一度、どちらか片方が負け続けた勝負結果を表にし、
シュミレーションしている途中でこの中の組み合わせが出現した
ところから、64個 対 64個までさかのぼればいいと考えました。

（どちらかが負け続けた場合の表↓）
－－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－
負け続け　　64　　　32　　　16　　　 8　　　 4　　　 2　　　 1
　＝＝＝＋＝＝＝＋＝＝＝＋＝＝＝＋＝＝＝＋＝＝＝＋＝＝＝＋＝＝＝
勝ち続け　　64　　　96　　 112　　 120　　 124　　 126　　 127
－－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－

碁石の動きには特徴があります。

２人が持っている碁石の差は、
じゃんけん勝者が、前回に持っていた碁石の数となります。

ですから、最終回に碁石の差が30であるなら、勝者が前回持っていた
数が30個ということです。

（左が結果、そこからさかのぼります⇒）
　回数　　　　６　　５　　４　　３　　２　　１　　０
－－－－－＋－－＋－－＋－－＋－－＋－－＋－－＋－－
　　　　　　　　　　←勝　←勝
はるさん　　　49　　98　　68　　 8　　16　　32　　64
－－－－－＋－－＋－－＋－－＋－－＋－－＋－－＋－－
碁石の差　　　30　　68　　 8　 112　　96　　64　　 0
－－－－－＋－－＋－－＋－－＋－－＋－－＋－－＋－－
　藪蘭　　　　79　　30　　60　 120　 112　　96　　64
　　　　　　　←勝　　　　　　　←勝　←勝　←勝
－－－－－＋－－＋－－＋－－＋－－＋－－＋－－＋－－　

> んの勝ちでした。（さすがはるさん、女性に優しいですね。）

「さすが藪蘭、容赦ないですね…。」っでなくてよかった。

正解！
ほー、これはまた美しいですね。「碁石の差が前回勝者が持っていた碁石の数に等しい」というのは、気づきませんでした。なるほどー。
オチも、Very Good です。

（14）＜はるさん＞

2007/01/05 23:23:32

[ハンドル名]

はる

[パズルの答え]

（１）６回

（２）４回目と５回目

（解き方）

きっと誰かが詳細を解説してくれているはずなので、
思いっきり端折って書くと、

現在の持ち石が６４個より多　い　→　前回勝った
　　　　　　　　　　より少ない　→　前回負けた

という特徴があるので、
３０個差で負けた（最終持ち石４９個の）はるは、
最終戦のじゃんけんで負けたことがわかる。

負けると半分になることから、最終戦直前の、
はるの持ち石は９８個か９９個だったことと、
はるは１回前のじゃんけんに勝ったことがわかる。

これを繰り返すと、
持ち石６４個のときが６回前にあり、これが最短。

６回戦　はるは　９８　か　９９で負けた
　　　（藪蘭は　３０　か　２９で勝った）

５回戦　藪蘭は　５８　～　６１で負けた
　　　（はるは　７０　～　６７で勝った）

４回戦　藪蘭は１１６　～１２３で負けた
　　　（はるは　１２　～　　５で勝った）

３回戦　はるは　１０　～　２５で負けた
　　　（藪蘭は１１８　～１０３で勝った）

２回戦　はるは　２０　～　５１で負けた
　　　（藪蘭は１０８　～　７７で勝った）

１回戦　はるは　４０　～１０３で負けた
　　　（藪蘭は　８８　～　２５で勝った）

[意見・感想]

最後の１個がなくならない限り、
最後のじゃんけんで勝ったほうが優勝という、
途中経過が全く関係ないゲームでした。

『最後の問題は得点が１００倍です』という
パロディクイズネタと同じような感覚ですね。

つまり、女性に優しいから負けたのではなく、
詰めが甘いから負けた、そういうことです。

実際に詰めの甘い男としては、
やたらと現実味を帯びていたパズルでした。

正解！
コメントに、大いに笑わせていただきました。さすがはるさん。
鍵のかかるブログだけに置いておくのが、もったいないですね。