【今日のパズル】

blQ061 (Level:Medium) http://fujishima.s219.xrea.com/wordpress/2007/08/27/blq061/

（問題）

すべて異なる９つの整数を３行×３列に並べ、縦、横、対角線のどの列をとっても、３つの数字を掛け合わせた積が、すべて１０００になるような、「積の魔方陣」を作ってください。

ただし、９つの数のうちの最小の数字は最上段（次のＡ，Ｂ，Ｃのいずれかの位置）に、最大の数字は最下段（Ｇ，Ｈ，Ｉのいずれかの位置）に配置し、かつ、Ａ＜Ｃでなければならないものとします。

Ａ　Ｂ　ＣＤ　Ｅ　ＦＧ　Ｈ　Ｉ

【解答要領】

解答は、メールではなく、ブログ「今日のパズル」の、この問題を掲載した記事へのコメントとして投稿をお願いします。URLは、次の通りです。

http://fujishima.s219.xrea.com/wordpress/2007/08/27/blq061/#commentform

また、正解発表および投稿いただいたコメントの承認は、明日中に、一括して行う予定です。

【次回予告】

次回は、２００７年８月２９日（水）午前６時発行の予定です。

次回もブログ解答パズルで、虫食い算です。

【先週のパズルの解答】

（問題）

次の表は、どの列をとっても、たて・よこ・対角線の４つの数の和が同じになるように数字が配置された「魔方陣」のうち、８つの数字を隠したものです。さて、空欄を埋めて魔方陣を完成させたとき、「？」のマスに入る数字は、何でしょうか？

┏━━┳━━┳━━┳━━┓
┃６８┃８９┃　　┃９６┃
┣━━╋━━╋━━╋━━┫
┃　　┃９１┃　　┃８８┃
┣━━╋━━╋━━╋━━┫
┃９９┃　　┃　　┃　　┃
┣━━╋━━╋━━╋━━┫
┃ ？ ┃　　┃９８┃１９┃
┗━━┻━━┻━━┻━━┛

（解答）

　８１

┏━━┳━━┳━━┳━━┓
┃６８┃８９┃１１┃９６┃
┣━━╋━━╋━━╋━━┫
┃１６┃９１┃６９┃８８┃
┣━━╋━━╋━━╋━━┫
┃９９┃１８┃８６┃６１┃
┣━━╋━━╋━━╋━━┫
┃８１┃６６┃９８┃１９┃
┗━━┻━━┻━━┻━━┛

（解き方）

【普通の解き方】

　┏━━┳━━┳━━┳━━┓
ａ┃６８┃８９┃ Ａ ┃９６┃
　┣━━╋━━╋━━╋━━┫
ｂ┃ Ｂ ┃９１┃ Ｃ ┃８８┃
　┣━━╋━━╋━━╋━━┫
ｃ┃９９┃ Ｄ ┃ Ｅ ┃ Ｆ ┃
　┣━━╋━━╋━━╋━━┫
ｄ┃ Ｇ ┃ Ｈ ┃９８┃１９┃
　┗━━┻━━┻━━┻━━┛
 ｅ　ｆ　　ｇ　　ｈ　　ｉ　ｊ

空欄および各行・列に、上記のように名前を付ける。

そして、魔法陣の各列の和をＸと置く。

ａ行より、Ａ＋（６８＋８９＋９６）＝Ｘこれを整理すると、Ａ＝Ｘ－２５３　…　(1)

ｉ列より、Ｆ＋（９６＋８８＋１９）＝Ｘこれを整理すると、Ｆ＝Ｘ－２０３　…　(2)

ｊ列（斜め）より、Ｅ＋（６８＋９１＋１９）＝Ｘこれを整理すると、Ｅ＝Ｘ－１７８　…　(3)

ｈ列より、Ａ＋Ｃ＋Ｅ＋９８＝Ｘ (1),(3)を代入　（Ｘ－２５３）＋Ｃ＋（Ｘ－１７８）＋９８＝Ｘこれを整理すると、Ｃ＝３３３－Ｘ　…　(4)

ｂ行より、Ｂ＋９１＋Ｃ＋８８＝Ｘ (4)を代入　Ｂ＋１７９＋（３３３－Ｘ）＝Ｘこれを整理すると、Ｂ＝２Ｘ－５１２　…　(5)

ｃ行より、Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋９９＝Ｘ (2),(3)を代入　Ｄ＋（Ｘ－１７８）＋（Ｘ－２０３）＋９９＝Ｘこれを整理すると、Ｄ＝２８２－Ｘ　…　(6)

ｇ列より、８９＋９１＋Ｄ＋Ｈ＝Ｘ (6)を代入　１８０＋（２８２－Ｘ）＋Ｈ＝Ｘこれを整理すると、Ｈ＝２Ｘ－４６２　…　(7)

ｆ列より、６８＋Ｂ＋９９＋Ｇ＝Ｘ (5)を代入　１６７＋（２Ｘ－５１２）＋Ｇ＝Ｘこれを整理すると、Ｇ＝３４５－Ｘ　…　(8)

また、ｅ列（斜め）より、Ｇ＋Ｄ＋Ｃ＋９６＝Ｘ (4),(6)を代入　Ｇ＋（２８２－Ｘ）＋（３３３－Ｘ）＋９６＝Ｘこれを整理すると、Ｇ＝３Ｘ－７１１　…　(9)

(8),(9)より、

３４５－Ｘ＝３Ｘ－７１１　　　４Ｘ＝１０５６　　　　Ｘ＝２６４

したがって、(8)より、Ｇ＝３４５－２６４＝８１

【にくさんのエレガントな解き方」

┏━━┳━━┳━━┳━━┓
┃６８┃８９┃ Ａ ┃９６┃
┣━━╋━━╋━━╋━━┫
┃ Ｂ ┃９１┃ Ｃ ┃８８┃
┣━━╋━━╋━━╋━━┫
┃９９┃ Ｄ ┃ Ｅ ┃ Ｆ ┃
┣━━╋━━╋━━╋━━┫
┃ Ｇ ┃ Ｈ ┃９８┃１９┃
┗━━┻━━┻━━┻━━┛

魔方陣の見えている部分の数字が、１，６，８，９の４種類しかないこと、および、１０の位、１の位の数をそれぞれ別々に見たときに、縦横斜めそれぞれの列において、４種類の数字がすべて重複なく使われていることに着目する。

仮に、残りのマスすべてについて、「１，６，８，９の４つのいずれか数字しか使わない２桁の数で埋める」「１０の位、１の位それぞれについて、縦横斜めのどの列をとっても、４つの数字が重複なく使われる」の２つの条件を満たすような数字の入れ方が存在すると仮定すると、どの列の和も、（１＋６＋８＋９）× （１０＋１）＝２６４となって一致し、魔方陣の条件を満たすはずである。

そのような数字の入れ方が可能か、試してみる。

すると、まず、Ａ＝１１、Ｅ＝８６が決まり、次にＣ＝６９、Ｂ＝１６から、Ｇ＝８１が得られる。残るＦ＝６１、Ｄ＝１８、Ｈ＝６６を埋めてみると、これらの数字の入れ方は、確かに上記の２条件をすべて満たしている。したがって、Ｇ＝８１が、求める答えである。

＃僕自身は、この解き方には、全く気づきませんでした。実にエレガント。すば　らしい！

（解答者一覧）

http://fujishima.s219.xrea.com/wordpress/2007/08/20/blq059/2/#participants