【今日のパズル】blQ005 (Level:Easy)

http://fujishima.s219.xrea.com/wordpress/2007/02/19/blq005/

次に、漢字１文字を分解して、ランダムに並べたものを示します。これを組み立てて、元の字を当ててください。

（１）火火言（２）木工竹凡（３）立日糸戈

解答は、メールではなく、ブログ「今日のパズル」の、この問題を掲載した記事へのコメントとして投稿をお願いします。URLは、次の通りです。

http://fujishima.s219.xrea.com/wordpress/2007/02/19/blq005/

また、正解発表および投稿いただいたコメントの承認は、明日中に、一括して行う予定です。

【次回予告】

次回は、２００７年２月２１日（水）午前６時発行の予定です。

次回もブログ解答パズルです。やさしい「虫食い算」をお届けします。

【先週のパズルの解答】

（問題）

URL: http://fujishima.s219.xrea.com/wordpress/2007/02/13/blq004/

下図で、Ａからスタートし、すべての道を１回ずつ通ってＢで終わる一筆書きの方法は、それぞれ何通りあるでしょうか？

（１）　　　ｂ　　／＼Ａ─ａ─ｄ─Ｂ　　＼／　　　ｃ

（２）　　　ｂ　ｅ　　／＼／＼Ａ─ａ─ｄ─ｇ─Ｂ　　＼／＼／　　　ｃ　ｆ

（３）　　　ｂ　ｅ　ｈ　ｋ　　／＼／＼／＼／＼Ａ─ａ─ｄ─ｇ─ｊ─ｍ─Ｂ　　＼／＼／＼／＼／　　　ｃ　ｆ　ｉ　ｌ

（解答）

（１）　６通り（２）　７２通り（３）　１０３６８通り

（解き方）

（以下は、バルタン星人さんによる解説です。）

団子が１個の時は、下記計算の６通り（最初の行き）上中下３通り×（戻り）残りの２通り×（最後の行き）１通り

今ｎ個の団子の一筆書きがＡｎ通りのとき、団子が（ｎ＋１）になると何通りの書き方ができるかを考える。

ｎ個を書き終わってから、最後の１個を書く方法 →Ａｎ×６通り

ｎ個を書き終わる前に、最後の１個の２本を書き、ｎ個に戻ってから全て書き上げる方法 →Ａｎ×６通り

すなわち、団子１個増える毎に１２倍書き方が増えていく。

Ａｎ＝１／２×１２＾ｎ

ｎ＝２　ならば　６×１２＝７２ｎ＝４　ならば　６×１２＾３＝１０３６８

（補足）

バルタン星人さんの解説は、ものすごくシンプルなので、ちょっとわかりにくかった方もいらっしゃるかもしれませんね。少し補足しておきます。

１個の場合は、問題ないでしょう。２個の場合には、どうなるでしょうか？

　　／＼／＼Ａ─○─Ｃ─○─Ｂ　　＼／＼／　　　あ　い

ＡからＣまでの「団子」を「あ」、ＣからＢまでの団子を「い」とします。

すると、「あ」の団子の通り方は６通り、「い」の団子の通り方も６通りで、一見３６通りと考えたくなります。でも、これだけでは足りません。

「あ」の団子をの１つの道だけを通ったら、すぐ「い」の団子を通り始め、Ｃの場所まで戻ってから、「あ」の団子の残りの道を通ってＣに戻り、「い」の残りの道を通る、という通り方があるからです。さて、こちらは、何通りあるでしょうか？

実は、これも３６通りです。なぜなら、「あ」の道を甲さん、「い」の道を乙さんの２人で手分けして通るとすると、最初の通り方は、甲さんが「あ」をすべて通り終えてから、乙さんにバトンタッチする方法ですが、後の通り方は、甲さんが「あ」を通り終える前に乙さんにバトンタッチする方法と考えられます。ただ、どちらにせよ、甲さんが「あ」を通る通り方は６通り、乙さんが「い」を通る通り方も６通りで同じだからです。（乙さんが動いている間は、甲さんはＣでお休みしていると想像してみてください）

したがって、団子２個の場合は、３６＋３６＝７２通り。

では、３個では、どうでしょう？

同様に考えると、最後の１個の団子を全く通らないで、残りの団子をすべて通り終えてからバトンタッチする方法が７２×６通り、最後の団子の道を１本残して通ってから残りの団子に戻って通り直し、最後の団子の残りの道を通って完結させる方法が、やはり７２通り×６通りあることが、おわかりになると思います。（理解しにくかったら、やはり団子ごとに違う人がいて、バトンタッチで道を埋めていく、自分の団子の中を動いていない人は、つなぎの部分でお休みしている、と考えてみてください。）

以上の考え方により、団子が１個増えるごとに、１２倍ずつ道が増えていくことになり、バルタン星人さんの式が正しいことになります。

（さいのぎさんによるエレガントな解法）

節の数はn-1個。その節にきてすぐ引き返すか、とりあえず進んであとから引き返すかの、２通りある。それぞれの節で２通りずつあるので、２^(n-i)通り考えられる。

団子は一個につき６通りあるので、 n個だと６^n

二つをかけあわせて、　Ａ(n)＝２^(n-1)･６^n が解となる。

【解答者とコメント】（原則として、出題日中にご解答いただいた方のみ）

＜さいのぎさん＞　2007/02/13 06:07:26

（１）６（２）７２（３）５１８４

（藤島コメント：残念。（３）が少なすぎました。その２倍ありましたね。ー１点です。）

＜バルタン星人さん＞　2007/02/13 06:08:51

本日は出題者と言うことで順位争い外ですが、とりあえず回答。｛もともとの問題は、４個の接した円を串が貫いた形の串団子一筆書きですが図示の関係で道（四角）にしています。｝

（１）６通り（３×２）

（２）７２通り（６×６×２）　ｄの左側を全て書き終えてから右側を書く（×６通り）　ｄの左側を書き終える前に（中間で）一旦ｇに行き　またａまで引き返して書く方法（×６通り）

（３）１０３６８通り（６×１２×１２×１２）上記のように団子（四角）が１個増えれば１２倍になるので（今ｎ個の団子の一筆書きがＡｎ通りの時、Ａn+1＝An×１２）この解となる。僅か４個の団子で１万通りもの書き順があるというのが面白いところです。 ＜makiさん＞　2007/02/13 06:12:53

（１）６通り（３×２）（２）３６通り（３×３×２×２）（３）１２９６通り（３×３×３×３×２×２×２×２）

＜毬藻さん＞　2007/02/13 06:21:06

(1)2

(2)8

(3)64

＜毬藻さん＞　2007/02/13 06:21:34

あんまり自信ありませんが。とりあえずこれで＾＾；ちょっと解くのが遅すぎですね＞＜

＜さいのぎさん＞　2007/02/13 06:29:10

（１）　a→dの行き方が３通り、d→aに帰ってくるのが残りの２通り、　さらに、a→dに行くのは自動的に決まるので、　３×２（×１）＝６通り・・・（答）

（２）　２通りにわける。・まず、a→dまでの道を全部潰したあと、d→gの道を制覇する方法　これは、（１）より６×６＝３６通り・次に、まずいっきにa→gまでいって、残りの道を潰す方法は、　a→dが３通り、d→gも３通り、　g→dが残りの２通りで、d→aも同様に２通りだから、　３×３×２×２（×１×１）＝３６通り ∴３６＋３６＝７２通り・・・（答）

【あ、お手つきしちゃった！と気づく・・・】（３）　５通りにわける。 ●１ブロック、１ブロック、１ブロック、１ブロック　６×６×６×６＝１２９６通り ●２ブロック、１ブロック、１ブロック（並び替えが３通り）　７２×６×６×３＝７７７６通り ●２ブロック、２ブロック　（２）より、７２×７２＝５１８４通り ●３ブロック、１ブロック（並び替えが２通り）　まずは３ブロックを計算。　・１ブロック、１ブロック、１ブロック　　６×６×６＝２１６通り　・２ブロック、１ブロック（並べ替えが２通り）　　７２×６×２＝８６４通り　・３ブロック　　３×３×３×２×２×２＝２１６通り　→２１６＋８６４＋２１６＝１２９６通り　∴１２９６×６×２＝１５５５２通り ●４ブロック　３×３×３×３×２×２×２×２＝６^４＝１２９６通り　１２９６＋７７７６＋５１８４＋１５５５２＋１２９６　＝３１１０４通り・・・（答）

ん～、ｎブロックあった場合は、　６＾ｎ＋ｎ！通りになることが推測されるけど、　証明は割愛（つか、めんどい）。

P.S.学生になった気分。

＜さいのぎさん＞　2007/02/13 06:32:54

あ、さらにミスってる・・・。６＾ｎ×６！ですね。。。ボロボロや。

＜しゅうさん＞　2007/02/13 06:42:22

（1）3×2＝6通り（2）3×5×2＝30通り（3）3×5×5×5×2＝750通り・・・そんな～

難しくてわかりません。戻り道でまた分かれるので、もっと複雑になりそうですが、でも、戻るとその後のルートは絞られるし・・？ 1日かけてもわかりそうに無いので、あてずっぽで提出します。

＜ヒャクレン・ラランジャ(サンパウロ坂本)さん＞　2007/02/13 09:09:48

（１）６通り　　　３！＝６通り

（２）７２通り　　　（３！×３！）×２＝７２通り

（３）１０３８６通り　　　（３！×３！×３！×３！）×８＝１０３８６通り

（藤島コメント：はい、トップ正解でした。さすがサンパウロ坂本さん！）

＜いっちゃんさん＞　2007/02/13 09:33:45

（１）６（２）７２（３）１０３６８

（藤島コメント：はい、２人目の正解です。お見事でした。）

＜Ｔ．ＭＩＺさん＞　2007/02/13 09:41:06

（１）６通り（２）７２通り（３）１０３６８通り（藤島コメント：３番目の正解者です。さすがですね。）

＜703さん＞　2007/02/13 09:45:24

（１）６（２）６×６＝３６（３）６×６×６＝２１６

＜703さん＞　2007/02/13 09:50:52

（１）６（２）６×６＝３６（３）６×６×６×６＝１２９６

＜repyさん＞　2007/02/13 12:00:31

(１)　６通り

(２)　７２通り　　

(３)　１０３６８通り

難しかったわぁ・・・たぶんこれでいい？ひし形が3個の場合は８６４通りなので(３)はそれに×12しました。

（藤島コメント：はい、正解です。４人目で女性ではトップ。がんばりましたねー。）

＜Misaさん＞　2007/02/13 13:04:01

（１）３通り

（２）９通り（３）８１通り

　…ほんと？違いますよね、☆☆☆☆もついてるもん…。

＜毬藻さん＞　2007/02/13 13:58:09

私の答え間違ってますね（恥そのうち（ぇ）解きなおします

＜さいのぎさん＞　2007/02/13 20:34:41

うはぁ、ダメダメだ。５ブロックでといてみたところ、６＾５＋１１２になって、予想と違う。もう、わけわかんない。

hal-9000さんとclockwiseさんの解説に期待しよっと(´･ω･`；)。

＜桃燈さん＞　2007/02/13 23:08:40

(1)６通り (2)７２通り (3)１０３６８通り

やってみたら１分かからなかった。これで正解なら簡単な問題だったな… 真面目に朝早起きすれば良かった…

因みに、解き方。 (1)３×２ (2)２×（６＾２） (3)８×（６＾４）

（藤島コメント：おお、１分かからないですか。さすが現役学生。お見それしました。）

＜Clockwiseさん＞　2007/02/14 01:20:02

（１）６通り（２）３６通り（３）１２９６通り

（１）すべての道を１回ずつ通るので、求められている場合の数は、ａ－ｄ、ａ－ｂ－ｄ、ａ－ｃ－ｄの道筋に、１回目の行き、帰り、２回目の行きの３通りを割り当てる割り当て方の数になる。よって、　３×２×１＝６通り

（２）ａからｄまでは（１）で求めた６通り。それぞれの場合に対して、ｄからｇまで同じく６通りあるので、全体を考えると　６×６＝３６通り

（３）（２）の応用。ａからｄ、ｄからｇ、ｇからｊ、ｊからｍは全て６通りなので、全体では　６×６×６×６＝１２９６通り

小学～中学ぐらいの算数（数学）の問題？経路をもうちょっと複雑にしたら、中学や高校入試の問題にもできるかも。

（藤島コメント：おや、しっかり引っかかっちゃいましたね。）

＜さいのぎさん＞　2007/02/15 00:25:01

紆余曲折、右往左往・・・したけど、ｎ個のブロックがあった時は、２＾（ｎ－１）×６＾ｎに落ち着きました。学生時代の漸化式っぽいのをバリバリとく方法も見つけたし、結構エレガントと思える解法も見つけました（多分）。

が、なにぶん、酔っ払いでこの時間で初のマイナスポイントの心理状況。またの機会にしまする。

それまでに、誰かが書いてそ～（苦笑）。

＜しゅうさん＞　2007/02/15 15:44:19

正解でした・・・早めに諦めて!　orz 答えを見ても、わかったようで？わかってないかも。長男が新婚旅行に出ているので忙しい～

＜さいのぎさん＞　2007/02/15 21:19:45

エッセンスのみ書きます。団子の数をｎ、その時の場合の数をＡ(n)、団子の連結点を節とします。

【ゴリゴリした別解】Ａ(1)＝３×２×１＝６Ａ(n)＝６^１･Ａ(n-1)＋６^２･Ａ(n-2)＋……＋６^(n-1)･Ａ(1)＋６^n Ａ(n+1)－６･Ａ(n)＝６･Ａ(n) ∴Ａ(n)＝２^(n-1)･６^n

さすがに、省略しすぎか・・・。１個目の節で折り返した場合、残りは団子n-1個の場合の数だから６･Ａ(n-1)。同様に２個めの節で初めて折り返した場合は、２個目の節までが６^２通り、残りは団子n-2個の場合の数だからＡ(n-2)。よって６^２･Ａ(n-2)。以下同じように、初めて折り返す節を考えていき、足し合わせると上記の式となる。

【エレガントな？別解】節の数はn-1個。その節にきてすぐ引き返すか、とりあえず進んであとから引き返すかの、２通りある。それぞれの節で２通りずつあるので、２^(n-i)通り考えられる。

団子は一個につき６通りあるので、 n個だと６^n

二つをかけあわせて、　Ａ(n)＝２^(n-1)･６^n が解となる。

（藤島コメント：なるほど、サンパウロ坂本さんの「×８」の意味が、実は僕にはよくわからなかったのですが、さいのぎさんのご説明で、よく腑に落ちました。美しい解法ですね。ありがとうございました。）

【ひと言】

バルタン星人さんの問題を出した先週火曜日は、日帰りだったのですが、大分に出張していました。そんなこともあって、先週はかなり忙しく、いつものようにすべての解答にコメントをつける余裕がありませんでした。ごめんなさい。

でも、さいのぎさんのコメントを読んでいるだけでも、悪戦苦闘ぶりが伝わってきて、おもしろいですね。

なお、今回以後の問題の結果（次週発行のメルマガに掲載されます）については、１週間当たりの問題数が増えることもあり、出題日当日にご解答いただいた方のコメントのみ、メルマガ掲載となりますので、ご了承ください。

引き続き、大勢の方からのコメントを、お待ちしています。

ではまた。